Цифровая теория Морса

В математике . цифровая теория Морса ^[1]^[2] представляет собой цифровую адаптацию континуальной теории Морса для данных скалярного объема . Этот термин был впервые предложен Д.Б. Карроном на основе работ Дж.Л. Кокса и Д.Б. Каррона.

Основная полезность цифровой теории Морса заключается в том, что она служит теоретической основой для изоповерхностей (разновидность встроенного подмногообразия ) и перпендикулярных линий тока в цифровом контексте. Предполагаемое основное применение ДМТ заключается в быстрой полуавтоматической сегментации объектов, таких как органы и анатомические структуры, из стопок медицинских изображений, например, полученных с помощью трехмерной компьютерной томографии с использованием технологий КТ или МРТ.

Дерево ДМТ

Дерево DMT — это цифровая версия графа Риба или графа контурного дерева, показывающая взаимосвязь и связность одного изозначного определенного объекта с другим. Обычно это вложенные объекты, расположенные один внутри другого, обеспечивающие связь родитель-потомок, или два объекта, стоящие отдельно друг от друга с одноранговыми отношениями.

Основное понимание теории Морса можно изложить в небольшой притче.

Мысленный эксперимент с аквариумом

Мысленный эксперимент с аквариумом: подсчет островов по мере изменения уровня воды

Суть непрерывной теории Морса можно понять с помощью мысленного эксперимента. Рассмотрим прямоугольный стеклянный аквариум. В эту емкость насыпаем небольшое количество песка так, чтобы получились две плавно пологие небольшие горки, одна выше другой. Теперь наполняем этот резервуар до краев водой. Теперь мы начинаем подсчет количества островных объектов, поскольку очень медленно опорожняем резервуар.

Наше первоначальное наблюдение заключается в том, что в нашей сцене с танком нет островных элементов. Когда уровень воды падает, мы наблюдаем, что уровень воды как раз совпадает с вершиной самого высокого песчаного холма. Затем мы наблюдаем за поведением воды на критической вершине холма. Мы видим вырожденный контур точечного острова с нулевой площадью, нулевым периметром и бесконечной кривизной. Исчезающее небольшое изменение уровня воды, и контур этой точки превращается в крошечный остров. Теперь мы увеличиваем количество объектов острова на +1. Продолжаем сливать воду из бака.Затем мы наблюдаем создание второго острова на вершине второго небольшого холма. Мы снова увеличиваем количество объектов на острове на +1 до двух объектов. В нашем маленьком море есть два островных объекта. Поскольку мы продолжаем медленно понижать уровень воды в нашем маленьком море-цистерне.Теперь мы наблюдаем, как два контура острова постепенно расширяются и приближаются друг к другу. Когда уровень воды достигает уровня критической точки седла между двумя холмами, контуры острова соприкасаются точно в точке седла. Мы видим, что количество объектов уменьшается на –1, в результате чего общее количество островов становится равным одному. Существенной особенностью этой рубрики является то, что мы нужно только посчитать вершины и проходы, чтобы инвентаризировать все острова в нашем море или объекты в нашей сцене . Этот подход работает даже тогда, когда мы увеличиваем сложность сцены.

Мы можем использовать ту же идею для подсчета критичности пиков, ям и проходов на очень сложном архипелаге островных объектов в любом масштабе или в любом диапазоне масштабов, включая шум в любом масштабе.

Связь между островными объектами может быть

Пэры : два острова, которые при более низком уровне воды «сливаются» в одного родителя.
Родитель : остров, который разделяется на два дочерних острова на более высоком уровне воды.
Потомство : Остров, имеющий функцию Родительского острова, описанную выше.

Теория цифровой Морзе связывает пики, ямы и переходы с родителями, сверстниками и потомством. Это дает симпатичную мнемонику: PPP → ppp.

Поскольку топология не заботится о геометрии или размерности (напрямую), сложные оптимизации в бесконечномерных гильбертовых пространствах поддаются такому виду анализа.

См. также

Ссылки

^ Кокс, Дж.; Каррон, Д.Б.; Фердоус, Н. (2003). «Организация топологической зоны данных скалярного объема». Журнал математического изображения и видения . 18 (2): 95–117. дои : 10.1023/A:1022113114311 . S2CID 24983543 .
^ Кокс, Дж.; Каррон, Д.Б.; Фердоус, Н. (2002). «Цифровая теория Морса для данных скалярного объема» (PDF) . ДИМАКС 2003 . Архивировано из оригинала (PDF) 24 января 2009 г.

Санджай Рана (2004). Топологические структуры данных для поверхностей . Уайли. ISBN 978-0470851517 .

[1] Кокс, Дж.; Каррон, Д.Б.; Фердоус, Н. (2003). «Организация топологической зоны данных скалярного объема». Журнал математического изображения и видения . 18 (2): 95–117. дои : 10.1023/A:1022113114311 . S2CID 24983543 .

[2] Кокс, Дж.; Каррон, Д.Б.; Фердоус, Н. (2002). «Цифровая теория Морса для данных скалярного объема» (PDF) . ДИМАКС 2003 . Архивировано из оригинала (PDF) 24 января 2009 г.

[1]

[2]