набор Якоби

В теории Морса , математической дисциплине, множества Якоби предоставляют метод изучения взаимосвязи между двумя или более функциями Морса .

Для двух функций Морса множество Якоби определяется как множество критических точек ограничения одной функции на множества уровня другой функции.

Множество Якоби также можно определить как набор точек, в которых градиенты двух функций параллельны.

Если обе функции являются общими, множество Якоби представляет собой гладко вложенное 1-многообразие.

Определение

Рассмотрим две общие функции Морса $f,g:M\to \mathbb {R}$ определяется на гладком $d$-многообразие. Пусть ограничение $f$ до установленного уровня $g^{-1}(t)$ для $t\in \mathbb {R}$ регулярное значение, которое можно назвать $f_{t}:g^{-1}(t)\to \mathbb {R}$; это функция Морса. Тогда множество Якоби $J$ из $f$ и $g$ является $J=cl{\{x\in M\mid x{\mbox{ is critical point of }}f_{t}\}}$,

Альтернативно, множество Якоби представляет собой совокупность точек, в которых градиенты функций совпадают друг с другом или один из градиентов обращается в нуль (цитировать?), для некоторых $\lambda \in \mathbb {R}$, $J=\{x\in M\mid \nabla {f(x)}+\lambda \nabla {g(x)}=0{\mbox{ or }}\lambda \nabla {f(x)}+\nabla {g(x)}=0\}.$

Эквивалентно, множество Якоби можно описать как совокупность критических точек семейства функций $f+\lambda g$, для некоторых $\lambda \in \mathbb {R}$, $J=\{x\in M\mid x{\mbox{ is a critical point of }}f+\lambda g{\mbox{ or }}\lambda f+g\}.$