Теория сферы Риба

В математике что теорема сферы Риба , названная в честь Жоржа Риба , утверждает,

Замкнутое ориентированное связное многообразие M  ^н допускающее особое слоение, имеющее только центры гомеоморфно сфере , S ^н и слоение имеет ровно две особенности.

Слоение Морса

Особенность слоения F имеет тип Морса , если в его малой окрестности все слои слоения являются множествами уровня функции Морса , причем особенность является критической точкой функции. Особенность является центром , если она является локальным экстремумом функции; в противном случае особенность является седлом .

Число центров c и количество седел $s$, конкретно $c-s$, тесно связано с топологией многообразия.

Обозначим $\operatorname {ind} p=\min(k,n-k)$, индекс особенности $p$, где k — номер соответствующей критической точки функции Морса. В частности, центр имеет индекс 0, индекс седла не ниже 1.

Слоение Морса F на многообразии M — это особое трансверсально ориентированное слоение коразмерности один класса $C^{2}$ с изолированными особенностями, такими что:

• каждая особенность F имеет тип Морса,
• каждый особый лист L содержит единственную особенность p ; кроме того, если $\operatorname {ind} p=1$ затем $L\setminus p$ не подключен.

Теория сферы Риба

Это тот случай $c>s=0$, корпус без седла.

Теорема: Позволять $M^{n}$ быть замкнутым ориентированным связным многообразием размерности $n\geq 2$. Предположим, что $M^{n}$ признает $C^{1}$- поперечно ориентированное слоение коразмерности один $F$ с непустым множеством особенностей, все они центрируются. Тогда сингулярный набор $F$ состоит из двух точек и $M^{n}$ гомеоморфна сфере $S^{n}$.

Это следствие теоремы Риба об устойчивости .

Обобщение

Более общий случай $c>s\geq 0.$

В 1978 году Эдвард Вагнер обобщил теорему Риба о сфере на слоения Морса с седлами. Он показал, что число центров не может быть слишком большим по сравнению с числом седел, а именно: $c\leq s+2$. Итак, есть ровно два случая, когда $c>s$:

(1) $c=s+2,$

(2) $c=s+1.$

Он получил описание многообразия, допускающего слоение с особенностями, удовлетворяющими (1).

Теорема: Позволять $M^{n}$ — компактное связное многообразие, допускающее слоение Морса $F$ с $c$ центры и $s$ седла. Затем $c\leq s+2$. В случае $c=s+2$,

• $M$ гомеоморфен $S^{n}$,
• все седла имеют индекс 1,
• каждый правильный лист диффеоморфен $S^{n-1}$.

Наконец, в 2008 году Сезар Камачо и Бруно Скардуа рассмотрели это дело (2), $c=s+1$. Это возможно в небольшом количестве малых размерностей.

Теорема: Позволять $M^{n}$ быть компактным связным многообразием и $F$ слоение Морса на $M$. Если $s=c+1$, затем

• $n=2,4,8$ или $16$,
• $M^{n}$ является многообразием Илса–Койпера .

Внешние ссылки

• Теорема Риба о сфере на nLab