Теорема Риба об устойчивости

В математике , утверждает , теорема устойчивости Риба , названная в честь Жоржа Риба что если один лист коразмерности один слоения замкнут . и имеет конечную фундаментальную группу , то все листы замкнуты и имеют конечную фундаментальную группу

Теорема Риба о локальной устойчивости

Теорема: Позволять $F$ быть $C^{1}$, коразмерность $k$ слоение многообразия ​ $M$ и $L$ компактный . лист с конечной голономии группой Существует район $U$ из $L$, насыщенный $F$ (также называемый инвариантным), в котором все листы компактны с конечными группами голономии. Далее мы можем определить ретракцию $\pi :U\to L$ такая, что для каждого листа $L'\subset U$, $\pi |_{L'}:L'\to L$ является покрывающей картой с конечным числом листов и для каждого $y\in L$, $\pi ^{-1}(y)$ гомеоморфен . диску диску размерности размерности k и трансверсален k $F$. Район $U$ можно принять сколь угодно малым.

Последнее утверждение означает, в частности, что в окрестности точки, соответствующей компактному листупри конечной голономии пространство листьев хаусдорфово .При определенных условиях теорема Риба о локальной устойчивости может заменить теорему Пуанкаре – Бендиксона в более высоких измерениях. Это случай сингулярных слоений коразмерности один. $(M^{n},F)$, с $n\geq 3$и некоторая особенность типа центра в $Sing(F)$.

Теорема Риба о локальной устойчивости также имеет версию для некомпактного листа коразмерности 1.

Теорема Риба о глобальной устойчивости

Важная проблема теории слоений — изучение влияния компактного листа на глобальную структуру слоения . Для некоторых классов слоений это влияние существенно.

Теорема: Позволять $F$ быть $C^{1}$, слоение коразмерности один замкнутого многообразия $M$. Если $F$ содержит компактный лист $L$ с конечной фундаментальной группой , то все листья $F$ компактны, с конечной фундаментальной группой. Если $F$ трансверсально ориентируемо , то каждый лист $F$ диффеоморфен ​ ​ $L$; $M$ - пространство расслоения полное $f:M\to S^{1}$ над $S^{1}$, с волокном $L$, и $F$ – слоение волокон, $\{f^{-1}(\theta )|\theta \in S^{1}\}$.

Эта теорема справедлива даже тогда, когда $F$ является слоением многообразия с краем , который априори является касательным на одних компонентах границы и поперечная на других компонентах. В данном случае из этого следует теорема Риба о сфере .

Теорема Риба о глобальной устойчивости неверна для слоений коразмерности больше единицы. Однако для некоторых специальных видов слоений получены следующие результаты о глобальной устойчивости:

• При наличии определенной поперечной геометрической структуры:

Теорема: Позволять $F$ быть полным конформным слоением коразмерности $k\geq 3$ многообразия связного ​ $M$. Если $F$ имеет компактный слой с конечной группой голономии , то все слои $F$ компактны с конечной группой голономии.

• Для голоморфных слоений в комплексном кэлеровом многообразии :

Теорема: Позволять $F$ — голоморфное слоение коразмерности $k$ в компактном комплексном кэлеровом многообразии . Если $F$ имеет компактный слой с конечной группой голономии , то каждый слой $F$ компактен с конечной группой голономии.

Ссылки

• К. Камачо, А. Линс Нето: Геометрическая теория слоений, Бостон, Биркхаузер, 1985.
• И. Тамура, Топология слоений: введение, Пер. математики. Монографии, АМС, т.97, 2006, 193 с.