Проблема паука и мухи
Задача о пауке и мухе — это развлекательная математическая задача с неинтуитивным решением, требующая найти кратчайший путь или геодезическую между двумя точками на поверхности кубоида . Первоначально его поставил Генри Дюдени .
Проблема
[ редактировать ]В типичной версии головоломки в пустой кубовидной комнате длиной 30 футов, шириной 12 футов и высотой 12 футов находятся паук и муха. Паук находится на 1 фут ниже потолка и горизонтально по центру одной стены размером 12 × 12 футов. Муха находится на высоте 1 фута над полом и горизонтально по центру противоположной стены. Проблема состоит в том, чтобы найти минимальное расстояние, которое паук должен проползти по стенам, потолку и/или полу, чтобы добраться до мухи, которая остается неподвижной. [1]
Решения
[ редактировать ]Наивное решение состоит в том, чтобы паук оставался горизонтально по центру и ползал вверх к потолку, через него и вниз к мухе, получая расстояние в 42 фута. Вместо этого кратчайший путь длиной 40 футов проходит по спирали вокруг пяти из шести граней кубоида. В качестве альтернативы его можно описать, развернув кубоид в сеть и найдя кратчайший путь (отрезок прямой) в полученной развернутой системе шести прямоугольников на плоскости. Разные сети создают разные сегменты разной длины, и возникает вопрос о поиске сети, длина сегмента которой минимальна. [2] Другой путь средней длины , пересекает по диагонали четыре грани вместо пяти. [3]
Для комнаты длиной l , шириной w и высотой h , паук находится на расстоянии b ниже потолка, а муха на расстоянии a над полом, длина спирального пути равна в то время как наивное решение имеет длину . [1] В зависимости от размеров кубоида и начальных положений паука и мухи оптимальным решением может быть тот или иной из этих путей или из четырех других путей. [4] Однако на кубоиде нет прямоугольного кубоида, а есть две точки, для которых кратчайший путь проходит через все шесть граней кубоида. [5]
Другое решение латерального мышления , выходящее за рамки установленных правил головоломки, предполагает, что паук прикрепляет шелк драглайна к стене, чтобы опуститься на пол, и ползет на 30 футов поперек нее и на 1 фут вверх по противоположной стене, что дает расстояние ползания 31 фут. ноги. Точно так же он может подняться на потолок, пересечь его, затем прикрепить шелк и опуститься на 11 футов, что также составляет 31 фут. [6]
История
[ редактировать ]Первоначально задача была поставлена Генри Дьюдени в английской газете Weekly Dispatch от 14 июня 1903 года и собрана в книге «Кентерберийские головоломки» (1907). Мартин Гарднер называет это «самой известной головоломкой Дьюдени». [7]
Версия проблемы была записана Адольфом Гурвицем в его дневнике в 1908 году. Гурвиц заявил, что услышал ее от Л. Гюстава дю Паскье , который, в свою очередь, услышал ее от Рихарда фон Мизеса . [8]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Меллингер, Кейт Э.; Вильоне, Раймонд (март 2012 г.). «Паук и муха». Математический журнал колледжа . 43 (2): 169–172. дои : 10.4169/college.math.j.43.2.169 . S2CID 117839570 .
- ^ Дэвис, Филип Дж .; Чинн, Уильям Г. (1985). «Глава 16: Паук и муха». 3.1416 И все такое . Бостон: Биркхойзер. стр. 117–122. дои : 10.1007/978-1-4615-8519-0_16 .
- ^ Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2006). «9.4 Паук и муха» . Математика стала визуальной: создание изображений для понимания математики . Ресурсы для классных комнат. Том. 28. Американское математическое общество. стр. 45–46. ISBN 9781614441007 .
- ^ Миллер, С. Майкл; Шефер, Эдвард Ф. (весна 2015 г.). «Расстояние от точки до ее противоположности по поверхности коробки». Журнал Пи Му Эпсилон . 14 (2): 143–154. arXiv : 1502.01036 . JSTOR 24340739 .
- ^ Демейн, Эрик Д .; Демейн, Мартин Л .; Эппштейн, Дэвид ; Ито, Хиро; Катаяма, Юта; Мураяма, Ватару; Уно, Юши (2022). «Геодезические пути, проходящие через все грани многогранника». 24-я Японская конференция по дискретной и вычислительной геометрии, графам и играм (JCDCG 3 2022) (PDF) . стр. 58–59.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Проблема паука и мухи» . Математический мир .
- ^ Гарднер, Мартин (июнь 1958 г.). «О Генри Эрнесте Дюдени, гениальном создателе головоломок». Математические игры. Научный американец . 198 (6): 108–114. doi : 10.1038/scientificamerican0658-108 . JSTOR 24941034 .
- ^ Освальд, Никола (2014). «Паук встречает Муху?». Сложные цепные дроби Гурвица: исторический подход и современные перспективы (докторская диссертация). Университет Юлиуса-Максимилиана Вюрцбурга. стр. 36–41.