Гауссовы скобки

В математике Карлом скобки Гаусса — это специальные обозначения, изобретенные Фридрихом Гауссом для представления дробей простой цепной дроби в виде простой дроби . Гаусс использовал эти обозначения в контексте нахождения решений неопределенных уравнений вида $ax=by\pm 1$ . ^[1]

Это обозначение не следует путать с широко распространенным использованием квадратных скобок для обозначения наибольшей целочисленной функции: $[x]$ обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное $x$ . Эти обозначения также были изобретены Гауссом и использованы в третьем доказательстве квадратичного закона взаимности. Обозначения $\lfloor x\rfloor$ , обозначающая функцию пола , теперь чаще используется для обозначения наибольшего целого числа, меньшего или равного $x$ . ^[2]

Обозначения

Обозначение гауссовских скобок определяется следующим образом: ^[3]^[4]

{\begin{aligned}\quad [\,\,]&=1\\[1mm][a_{1}]&=a_{1}\\[1mm][a_{1},a_{2}]&=[a_{1}]a_{2}+[\,\,]\\[1mm]&=a_{1}a_{2}+1\\[1mm][a_{1},a_{2},a_{3}]&=[a_{1},a_{2}]a_{3}+[a_{1}]\\[1mm]&=a_{1}a_{2}a_{3}+a_{1}+a_{3}\\[1mm][a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}]&=[a_{1},a_{2},a_{3}]a_{4}+[a_{1},a_{2}]\\[1mm]&=a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}+a_{1}a_{2}+a_{1}a_{4}+a_{3}a_{4}+1\\[1mm][a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}]&=[a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}]a_{5}+[a_{1},a_{2},a_{3}]\\[1mm]&=a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}+a_{1}a_{2}a_{3}+a_{1}a_{2}a_{5}+a_{1}a_{4}a_{5}+a_{3}a_{4}a_{5}+a_{1}+a_{3}+a_{5}\\[1mm]\vdots &\\[1mm][a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]&=[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1}]a_{n}+[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-2}]\end{aligned}}

Расширенная форма выражения $[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]$ можно описать так: «Первый член — это произведение всех n членов; после него идут все возможные произведения ( n -2) членов, в которых числа имеют попеременно нечетные и четные индексы в порядке возрастания, каждое из которых начинается с нечетного индекса. ; тогда все возможные произведения из ( n -4) членов также имеют последовательно чередующиеся нечетные и четные индексы, каждый из которых начинается с нечетного индекса и т. д. Если в скобке нечетное количество членов, она заканчивается суммой всех; члены нечетного индекса; если он имеет четное число, он заканчивается единицей». ^[4]

С помощью этих обозначений легко проверить, что ^[3]

{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\cdots {\frac {\ddots }{\cfrac {1}{a_{n-1}+{\frac {1}{a_{n}}}}}}}}}}}}={\frac {[a_{2},\ldots ,a_{n}]}{[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]}}

Характеристики

Обозначение скобок также может быть определено рекурсивным соотношением: $\,\,[a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}]=a_{1}[a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}]+[a_{3},\ldots ,a_{n}]$
Обозначения симметричны или обратимы в аргументах: $\,\,[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1},a_{n}]=[a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{2},a_{1}]$
Выражение в гауссовских скобках можно записать с помощью определителя: $\,\,[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]={\begin{vmatrix}a_{1}&-1&0&0&\cdots &0&0&0\\[1mm]1&a_{2}&-1&0&\cdots &0&0&0\\[1mm]0&1&a_{3}&-1&\cdots &0&0&0\\[1mm]\vdots &&&&&&&\\[1mm]0&0&0&0&\cdots &1&a_{n-1}&-1\\[1mm]0&0&0&0&\cdots &0&1&a_{n}\end{vmatrix}}$
Обозначения удовлетворяют формуле определителя (при $n=1$ используйте соглашение, которое $[a_{2},\ldots ,a_{0}]=0$ ): $\,\,{\begin{vmatrix}[a_{1},\ldots ,a_{n}]&[a_{1},\ldots ,a_{n-1}]\\[1mm][a_{2},\ldots ,a_{n}]&[a_{2},\ldots ,a_{n-1}]\end{vmatrix}}=(-1)^{n}$
$[-a_{1},-a_{2},\ldots ,-a_{n}]=(-1)^{n}[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]$
Пусть элементы в выражении в скобках Гаусса альтернативно равны 0. Тогда

{\begin{aligned}\,\,\quad [a_{1},0,a_{3},0,\ldots ,a_{2m+1}]&=a_{1}+a_{3}+\cdots +a_{2m+1}\\[1mm][a_{1},0,a_{3},0,\ldots ,a_{2m+1},0]&=1\\[1mm][0,a_{2},0,a_{4},\ldots ,a_{2m}]&=1\\[1mm][0,a_{2},0,a_{4},\ldots ,a_{2m},0]&=0\end{aligned}}

Приложения

Скобки Гаусса широко использовались оптическими разработчиками в качестве устройства, позволяющего сэкономить время при расчете эффектов изменений поверхностной мощности, толщины и разделения фокусного расстояния, увеличения, а также расстояний до объекта и изображения. ^[4]^[5]

Ссылки

^ Карл Фридрих Гаусс (английский перевод Артура А. Кларка и редакция Уильяма К. Уотерхауса) (1986). Арифметические исследования . Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 10–11. ISBN 0-387-96254-9 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Функция пола» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Проверено 25 января 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Гауссовы скобки» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Проверено 24 января 2023 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с М. Герцбергер (декабрь 1943 г.). «Гауссова оптика и гауссовы скобки». Журнал Оптического общества Америки . 33 (12). дои : 10.1364/JOSA.33.000651 .
^ Кадзуо Танака (1986). «Параксиальная теория в оптическом проектировании в терминах скобок Гаусса». Прогресс в оптике . XXIII : 63–111. Бибкод : 1986ПрОпт..23...63Т . дои : 10.1016/S0079-6638(08)70031-3 . ISBN 9780444869821 .

Дополнительное чтение

В следующих статьях приводятся дополнительные подробности применения скобок Гаусса в оптике.

Чэнь Ма, Дэвэнь Ченг, Ц. Ван и Чэнь Сюй (ноябрь 2014 г.). «Проект оптической системы жидкостной настраиваемой фундус-камеры на основе метода гауссовских скобок». Акта Оптика Синика . 34 (11). дои : 10.3788/AOS201434.1122001 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
И Чжун, Герберт Гросс (май 2017 г.). «Метод начального проектирования невращательно-симметричных систем на основе скобок Гаусса и теории узловых аберраций» . Выбирайте Экспресс . 25 (9): 10016–10030. Бибкод : 2017OExpr..2510016Z . дои : 10.1364/OE.25.010016 . ПМИД 28468369 . Проверено 24 января 2023 г.
Сянъюй Юань и Сюэмин Чэн (ноябрь 2014 г.). Ван, Юнтянь; Ду, Чунлей; Сассиан, Хосе; Тацуно, Кимио (ред.). «Дизайн линзы на основе параметров формы линзы с использованием скобок Гаусса». Учеб. SPIE 9272, Оптическое проектирование и тестирование VI, 92721L . Оптический дизайн и тестирование VI. 9272 : 92721Л. Бибкод : 2014SPIE.9272E..1LY . дои : 10.1117/12.2073422 . S2CID 121201008 .

[1] Карл Фридрих Гаусс (английский перевод Артура А. Кларка и редакция Уильяма К. Уотерхауса) (1986). Арифметические исследования . Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 10–11. ISBN 0-387-96254-9 .

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Функция пола» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Проверено 25 января 2023 г.

[Wolfram-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Гауссовы скобки» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram . Проверено 24 января 2023 г.

[Herzberger-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с М. Герцбергер (декабрь 1943 г.). «Гауссова оптика и гауссовы скобки». Журнал Оптического общества Америки . 33 (12). дои : 10.1364/JOSA.33.000651 .

[5] Кадзуо Танака (1986). «Параксиальная теория в оптическом проектировании в терминах скобок Гаусса». Прогресс в оптике . XXIII : 63–111. Бибкод : 1986ПрОпт..23...63Т . дои : 10.1016/S0079-6638(08)70031-3 . ISBN 9780444869821 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]