Теорема Морли о трисекторах

В плоской геометрии теорема Морли о трисекторах утверждает, что в любом треугольнике соседних три точки пересечения трисекторов углов образуют равносторонний треугольник , называемый первым треугольником Морли или просто треугольником Морли . Теорема была открыта в 1899 году англо-американским математиком Фрэнком Морли . Он имеет различные обобщения; в частности, если все трисекторы пересекаются, получаются еще четыре равносторонних треугольника.

Доказательства

Существует множество доказательств теоремы Морли, некоторые из которых очень технические. ^[1] Несколько ранних доказательств были основаны на тонких тригонометрических вычислениях. Недавние доказательства включают алгебраическое доказательство Алена Конна ( 1998 , 2004 ), распространяющее теорему на общие поля, отличные от характеристики три, и Джона Конвея . доказательство элементарной геометрии ^[2]^[3] Последний начинается с равностороннего треугольника и показывает, что вокруг него можно построить треугольник, аналогичный любому выбранному треугольнику. Теорема Морли не справедлива в сферических ^[4] и гиперболическая геометрия .

В одном доказательстве используется тригонометрическое тождество.

\sin(3\theta )=4\sin \theta \sin(60^{\circ }+\theta )\sin(120^{\circ }+\theta )

( 1 )

который, используя тождество суммы двух углов, можно показать равным

\sin(3\theta )=-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta .

Последнее уравнение можно проверить, дважды применив сумму двух углов к левой части и исключив косинус.

Очки $D,E,F$ построены на ${\overline {BC}}$ как показано. У нас есть $3\alpha +3\beta +3\gamma =180^{\circ }$ , сумма углов любого треугольника, поэтому $\alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }.$ Следовательно, углы треугольника $XEF$ являются $\alpha ,(60^{\circ }+\beta ),$ и $(60^{\circ }+\gamma ).$

Из рисунка

\sin(60^{\circ }+\beta )={\frac {\overline {DX}}{\overline {XE}}}

( 2 )

и

\sin(60^{\circ }+\gamma )={\frac {\overline {DX}}{\overline {XF}}}.

( 3 )

Также из рисунка

\angle {AYC}=180^{\circ }-\alpha -\gamma =120^{\circ }+\beta

и

\angle {AZB}=120^{\circ }+\gamma .

( 4 )

Закон синусов в применении к треугольникам $AYC$ и $AZB$ урожайность

\sin(120^{\circ }+\beta )={\frac {\overline {AC}}{\overline {AY}}}\sin \gamma

( 5 )

и

\sin(120^{\circ }+\gamma )={\frac {\overline {AB}}{\overline {AZ}}}\sin \beta .

( 6 )

Выразите высоту треугольника $ABC$ двумя способами

h={\overline {AB}}\sin(3\beta )={\overline {AB}}\cdot 4\sin \beta \sin(60^{\circ }+\beta )\sin(120^{\circ }+\beta )

и

h={\overline {AC}}\sin(3\gamma )={\overline {AC}}\cdot 4\sin \gamma \sin(60^{\circ }+\gamma )\sin(120^{\circ }+\gamma ).

где уравнение (1) использовалось для замены $\sin(3\beta )$ и $\sin(3\gamma )$ в этих двух уравнениях. Подставив уравнения (2) и (5) в $\beta$ уравнение и уравнения (3) и (6) в $\gamma$ уравнение дает

h=4{\overline {AB}}\sin \beta \cdot {\frac {\overline {DX}}{\overline {XE}}}\cdot {\frac {\overline {AC}}{\overline {AY}}}\sin \gamma

и

h=4{\overline {AC}}\sin \gamma \cdot {\frac {\overline {DX}}{\overline {XF}}}\cdot {\frac {\overline {AB}}{\overline {AZ}}}\sin \beta

Поскольку числители равны

{\overline {XE}}\cdot {\overline {AY}}={\overline {XF}}\cdot {\overline {AZ}}

или

{\frac {\overline {XE}}{\overline {XF}}}={\frac {\overline {AZ}}{\overline {AY}}}.

Поскольку угол $EXF$ и угол $ZAY$ равны и стороны, образующие эти углы, находятся в одинаковом соотношении, треугольники $XEF$ и $AZY$ похожи.

Похожие ракурсы $AYZ$ и $XFE$ равный $(60^{\circ }+\gamma )$ , и подобные углы $AZY$ и $XEF$ равный $(60^{\circ }+\beta ).$ Подобные аргументы дают основные углы треугольников. $BXZ$ и $CYX.$

В конкретном ракурсе $BZX$ оказывается $(60^{\circ }+\alpha )$ и на рисунке мы видим, что

\angle {AZY}+\angle {AZB}+\angle {BZX}+\angle {XZY}=360^{\circ }.

Замена доходности

(60^{\circ }+\beta )+(120^{\circ }+\gamma )+(60^{\circ }+\alpha )+\angle {XZY}=360^{\circ }

где уравнение (4) использовалось для угла $AZB$ и поэтому

\angle {XZY}=60^{\circ }.

Аналогично остальные углы треугольника $XYZ$ оказываются $60^{\circ }.$

Сторона и площадь

Первый треугольник Морли имеет длины сторон ^[5]

$a^{\prime }=b^{\prime }=c^{\prime }=8R\,\sin {\tfrac {1}{3}}A\,\sin {\tfrac {1}{3}}B\,\sin {\tfrac {1}{3}}C,$

где R — радиус описанной окружности исходного треугольника, а A, B и C — углы исходного треугольника. Так как площадь равностороннего треугольника равна ${\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a'^{2},$ площадь треугольника Морли можно выразить как

${\text{Area}}=16{\sqrt {3}}R^{2}\,\sin ^{2}\!{\tfrac {1}{3}}A\,\sin ^{2}\!{\tfrac {1}{3}}B\,\sin ^{2}\!{\tfrac {1}{3}}C.$

Треугольники Морли

Теорема Морли предполагает наличие 18 равносторонних треугольников. Треугольник, описанный в теореме о трисекторах выше, называемый первым треугольником Морли , имеет вершины, заданные в трилинейных координатах относительно треугольника ABC следующим образом:

${\begin{array}{ccccccc}A{\text{-vertex}}&=&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}C&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}B\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}C&:&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}A\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}B&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}A&:&1\end{array}}$

Другой равносторонний треугольник Морли, который также является центральным треугольником, называется вторым треугольником Морли и имеет следующие вершины:

${\begin{array}{ccccccc}A{\text{-vertex}}&=&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C-2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B-2\pi )\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C-2\pi )&:&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A-2\pi )\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B-2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A-2\pi )&:&1\end{array}}$

Третий из 18 равносторонних треугольников Морли, который также является центральным треугольником, называется третьим треугольником Морли и определяется следующими вершинами:

${\begin{array}{ccccccc}A{\text{-vertex}}&=&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C+2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B+2\pi )\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C+2\pi )&:&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A+2\pi )\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B+2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A+2\pi )&:&1\end{array}}$

Первый, второй и третий треугольники Морли попарно гомотетичны . Другой гомотетический треугольник образован тремя точками X на описанной окружности треугольника ABC, в которых проходит линия XX. ⁻¹ касается описанной окружности, где X ⁻¹ обозначает сопряженное X . изогонально Этот равносторонний треугольник, называемый окружно-касательным треугольником , имеет следующие вершины:

${\begin{array}{lllllll}A{\text{-vertex}}&=&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(C-B)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(2C+B)&:&-\csc {\tfrac {1}{3}}(C+2B)\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&-\csc {\tfrac {1}{3}}(A+2C)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(A-C)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(2A+C)\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(2B+A)&:&-\csc {\tfrac {1}{3}}(B+2A)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(B-A)\end{array}}$

Пятый равносторонний треугольник, также гомотетичный остальным, получается вращением окружно-касательного треугольника $π$ /6 вокруг его центра. , Треугольник, описанный по нормали имеет следующие вершины:

${\begin{array}{lllllll}A{\text{-vertex}}&=&{\phantom {-}}\sec {\tfrac {1}{3}}(C-B)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(2C+B)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(C+2B)\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&-\sec {\tfrac {1}{3}}(A+2C)&:&{\phantom {-}}\sec {\tfrac {1}{3}}(A-C)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(2A+C)\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&-\sec {\tfrac {1}{3}}(2B+A)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(B+2A)&:&{\phantom {-}}\sec {\tfrac {1}{3}}(B-A)\end{array}}$

Операцию под названием « экстраверсия » можно использовать для получения одного из 18 треугольников Морли из другого. Каждый треугольник можно экстравертировать тремя разными способами; 18 треугольников Морли и 27 экстравертных пар треугольников образуют 18 вершин и 27 ребер графа Паппуса . ^[6]

Связанные центры треугольников

Центр Морли X трилинейных (356), центр тяжести первого треугольника Морли, задается в координатах выражением

$\cos {\tfrac {1}{3}}A+2\cos {\tfrac {1}{3}}B\,\cos {\tfrac {1}{3}}C\,:\,\cos {\tfrac {1}{3}}B+2\cos {\tfrac {1}{3}}C\,\cos {\tfrac {1}{3}}A\,:\,\cos {\tfrac {1}{3}}C+2\cos {\tfrac {1}{3}}A\,\cos {\tfrac {1}{3}}B$

1-й центр Морли-Тейлора-Марра , X (357): первый треугольник Морли перспективен к треугольнику. $\triangle ABC$ : ^[7] линии, соединяющие каждую вершину исходного треугольника с противоположной вершиной треугольника Морли, совпадают в точке

$\sec {\tfrac {1}{3}}A\,:\,\sec {\tfrac {1}{3}}B\,:\,\sec {\tfrac {1}{3}}C$

См. также

Примечания

^ Богомольный, Александр , Чудо Морли , Разрезать узел , получено 2 января 2010 г.
^ Богомольный, Александр , Доказательство Дж. Конвея , Разрубить узел , получено 3 декабря 2021 г.
^ Конвей, Джон (2006), «Сила математики» (PDF) , в Блэквелле, Алан; Маккей, Дэвид (ред.), Power , Cambridge University Press, стр. 36–50, ISBN 978-0-521-82377-7 , получено 8 октября 2010 г.
^ Теорема Морли в сферической геометрии , Java-апплет .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Первый треугольник Морли» . Математический мир . Проверено 3 декабря 2021 г.
^ Гай (2007) .
^ Фокс, доктор медицины; и Гоггинс, Дж. Р. «Обобщенная диаграмма Морли», Mathematical Gazette 87, ноябрь 2003 г., 453–467.

Ссылки

Конн, Ален (1998), «Новое доказательство теоремы Морли» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , S88 : 43–46 .
Конн, Ален (декабрь 2004 г.), «Симметрии» (PDF) , Информационный бюллетень Европейского математического общества , 54 .
Коксетер, HSM ; Грейцер, С.Л. (1967), Возвращение к геометрии , Математическая ассоциация Америки , LCCN 67-20607
Фрэнсис, Ричард Л. (2002), «Вехи современной математики: тайна Морли» (PDF) , Журнал математических наук Миссури , 14 (1), doi : 10.35834/2002/1401016 .
Гай, Ричард К. (2007), «Теорема о маяке, Морли и Малфатти — бюджет парадоксов» (PDF) , American Mathematical Monthly , 114 (2): 97–141, doi : 10.1080/00029890.2007.11920398 , JSTOR 27642143 , MR 2290364 , S2CID 46275242 , заархивировано из оригинала (PDF) 1 апреля 2010 г.
Окли, Колорадо; Бейкер, Дж. К. (1978), «Теорема Морли о трисекторах», American Mathematical Monthly , 85 (9): 737–745, doi : 10.2307/2321680 , JSTOR 2321680 , S2CID 56066204 .
Тейлор, Ф. Гланвилл; Марр, В.Л. (1913–14), «Шесть трисекторов каждого угла треугольника», Труды Эдинбургского математического общества , 33 : 119–131, doi : 10.1017/S0013091500035100 .

Внешние ссылки

Теорема Морлиса в MathWorld
Теорема Морли о трисекции на MathPages
Теорема Морли Александра Павлика, Демонстрационный проект Вольфрама .

[1] Богомольный, Александр , Чудо Морли , Разрезать узел , получено 2 января 2010 г.

[2] Богомольный, Александр , Доказательство Дж. Конвея , Разрубить узел , получено 3 декабря 2021 г.

[3] Конвей, Джон (2006), «Сила математики» (PDF) , в Блэквелле, Алан; Маккей, Дэвид (ред.), Power , Cambridge University Press, стр. 36–50, ISBN 978-0-521-82377-7 , получено 8 октября 2010 г.

[4] Теорема Морли в сферической геометрии , Java-апплет .

[5] Вайсштейн, Эрик В. «Первый треугольник Морли» . Математический мир . Проверено 3 декабря 2021 г.

[6] Гай (2007) .

[7] Фокс, доктор медицины; и Гоггинс, Дж. Р. «Обобщенная диаграмма Морли», Mathematical Gazette 87, ноябрь 2003 г., 453–467.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]