Мнемоника в тригонометрии

В тригонометрии принято использовать мнемонику , чтобы запомнить тригонометрические тождества и взаимосвязи между различными тригонометрическими функциями .

СОХ-КА-ТОА

Отношения синуса косинуса , в прямоугольном треугольнике можно запомнить , и тангенса представляя их в виде строк букв, например SOH-CAH-TOA на английском языке:

Синус = Противоположный ÷ Гипотенуза

Косинус = А соседний Гипотенуза ÷

Тангенс = противоположный ÷ соседний

Один из способов запомнить буквы — произносить их фонетически (т.е. / ˌ s oʊ k ə ˈ t oʊ ə / SOH -kə- TOH -ə , аналогично Кракатау ). ^[1]

Фразы

Другой метод - объединить буквы в предложение, например: «Некоторые старые лошади с удовольствием жуют яблоки на протяжении всей старости», «Какой-то старый хиппи поймал другого хиппи, споткнувшегося о кислоту» или «Изучение домашнего задания всегда может помочь добиться успеха». Порядок можно менять, как в «Томми на своем корабле поймал селедку» (тангенс, синус, косинус) или «Старый армейский полковник и его сын часто икают» (тангенс, косинус, синус) или «Приходи и возьми». Некоторые апельсины помогают преодолеть амнезию» (косинус, синус, тангенс). ^[2]^[3] Сообщества в китайских кругах могут запомнить его как TOA-CAH-SOH, что также означает «большеногая женщина» ( китайский : 大腳嫂 ; Pe̍h-ōe-jī : tōa-kha-só ) на языке хоккиен . ^{[ нужна ссылка ]}

Альтернативный способ запомнить буквы Sin, Cos и Tan — это запомнить слоги Oh, Ah, Oh-Ah (т.е. / oʊ ə ˈ oʊ . ə / ) для O/H, A/H, O/A. ^[4] Более длинные мнемоники для этих букв включают «Оскар держит Энджи» и «У Оскара была куча яблок». ^[2]

Все студенты изучают математический анализ

Все студенты изучают математику . Это мнемоника для обозначения знака каждой тригонометрической функции в каждом квадранте плоскости. Буквы ASTC обозначают, какие из тригонометрических функций являются положительными, начиная с верхнего правого 1-го квадранта и продвигаясь против часовой стрелки через квадранты со 2 по 4. ^[5]

Квадрант 1 (углы от 0 до 90 градусов или от 0 до π/2 радиан): все тригонометрические функции в этом квадранте положительны.
Квадрант 2 (углы от 90 до 180 градусов или от π/2 до π радиан): синусоидальная и косекансная функции в этом квадранте положительны.
Квадрант 3 (углы от 180 до 270 градусов, или от π до 3π/2 радиан): T -ангенс и котангенс положительны в этом квадранте.
Квадрант 4 (углы от 270 до 360 градусов, или от 3π/2 до 2π радиан): косинус и секущая функции в этом квадранте положительны.

Другие мнемоники включают в себя:

Все станции до центра ^[6]
Все глупые коты Тома ^[6]
Добавьте сахар кофе в ^[6]
Все науки преподаватели являются ( сумасшедшими ) ^[7]
A Smart Trig Класс ^[8]
Все школы детей пытают ^[5]
Ужасный вонючих триггеров курс ^[5]

Другие легко запоминающиеся мнемоники — это законы ACTS и CAST . У них есть тот недостаток, что они не позволяют последовательно переходить от квадрантов с 1 по 4 и не усиливают соглашение о нумерации квадрантов.

CAST по-прежнему движется против часовой стрелки, но начинается в квадранте 4 и проходит через квадранты 4, 1, 2, затем 3.
ACTS по-прежнему начинается в квадранте 1, но проходит по часовой стрелке через квадранты 1, 4, 3, затем 2.

Синусы и косинусы особых углов

Синусы и косинусы общих углов 0°, 30°, 45°, 60° и 90° следуют шаблону. ${\frac {\sqrt {n}}{2}}$ с $n = 0, 1, ..., 4$ для синуса и $n = 4, 3, ..., 0$ для косинуса соответственно: ^[9]

$\theta$	$\sin \theta$	$\cos \theta$	$\tan \theta =\sin \theta {\Big /}\cos \theta$
0° = 0 радиан	${\frac {\sqrt {\mathbf {\color {blue}{0}} }}{2}}=\;\;0$	${\frac {\sqrt {\mathbf {\color {red}{4}} }}{2}}=\;\;1$	$\;\;0\;\;{\Big /}\;\;1\;\;=\;\;0$
30° = ⁠ $π$ / 6 ⁠ радиан	${\frac {\sqrt {\mathbf {\color {teal}{1}} }}{2}}=\;\,{\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {\mathbf {\color {orange}{3}} }}{2}}$	$\;\,{\frac {1}{2}}\;{\Big /}{\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}$
45° = ⁠ $π$ / 4 ⁠ радиан	${\frac {\sqrt {\mathbf {\color {green}{2}} }}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$	${\frac {\sqrt {\mathbf {\color {green}{2}} }}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\Big /}{\frac {1}{\sqrt {2}}}=\;\;1$
60° = ⁠ $π$ / 3 ⁠ радиан	${\frac {\sqrt {\mathbf {\color {orange}{3}} }}{2}}$	${\frac {\sqrt {\mathbf {\color {teal}{1}} }}{2}}=\;{\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}{\Big /}\;{\frac {1}{2}}\;\,={\sqrt {3}}$
90° = ⁠ $π$ / 2 ⁠ радиан	${\frac {\sqrt {\mathbf {\color {red}{4}} }}{2}}=\;\,1$	${\frac {\sqrt {\mathbf {\color {blue}{0}} }}{2}}=\;\,0$	$\;\;1\;\;{\Big /}\;\;0\;\;=$ неопределенный

Шестиугольная диаграмма

Другая мнемоника позволяет быстро прочитать все основные идентификационные данные. Шестиугольную диаграмму можно построить, немного подумав: ^[10]

Нарисуйте три треугольника, направленных вниз и соприкасающихся в одной точке. Это напоминает убежища от радиоактивных осадков трилистник .
Напишите 1 посередине, где соприкасаются три треугольника.
Напишите функции без «со» в трех левых внешних вершинах (сверху вниз: синус , тангенс , секанс )
Напишите кофункции для соответствующих трех правых внешних вершин ( косинус , котангенс , косеканс ).

Начиная с любой вершины полученного шестиугольника:

Начальная вершина равна единице относительно противоположной вершины. Например, $\sin A={\frac {1}{\csc A}}$
При движении по часовой стрелке или против часовой стрелки начальная вершина равна следующей вершине, разделенной на следующую за ней вершину. Например, $\sin A={\frac {\cos A}{\cot A}}={\frac {\tan A}{\sec A}}$
Начальный угол равен произведению двух ближайших соседей. Например, $\sin A=\cos A\cdot \tan A$
Сумма квадратов двух предметов вверху треугольника равна квадрату предмета внизу. Это тригонометрические тождества Пифагора :

\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1^{2}=1\

1+\cot ^{2}A=\csc ^{2}A\

\tan ^{2}A+1=\sec ^{2}A\

Помимо последнего пункта, конкретные значения для каждого идентификатора суммированы в этой таблице:

Функция запуска	... равно ⁠ 1 / opposite ⁠	... равно ⁠ первый / второй ⁠ по часовой стрелке	... равно ⁠ первый / второй ⁠ против часовой стрелки/против часовой стрелки	... равно произведению двух ближайших соседей
$\tan A$	$={\frac {1}{\cot A}}$	$={\frac {\sin A}{\cos A}}$	$={\frac {\sec A}{\csc A}}$	$=\sin A\cdot \sec A$
$\sin A$	$={\frac {1}{\csc A}}$	$={\frac {\cos A}{\cot A}}$	$={\frac {\tan A}{\sec A}}$	$=\cos A\cdot \tan A$
$\cos A$	$={\frac {1}{\sec A}}$	$={\frac {\cot A}{\csc A}}$	$={\frac {\sin A}{\tan A}}$	$=\sin A\cdot \cot A$
$\cot A$	$={\frac {1}{\tan A}}$	$={\frac {\csc A}{\sec A}}$	$={\frac {\cos A}{\sin A}}$	$=\cos A\cdot \csc A$
$\csc A$	$={\frac {1}{\sin A}}$	$={\frac {\sec A}{\tan A}}$	$={\frac {\cot A}{\cos A}}$	$=\cot A\cdot \sec A$
$\sec A$	$={\frac {1}{\cos A}}$	$={\frac {\tan A}{\sin A}}$	$={\frac {\csc A}{\cot A}}$	$=\csc A\cdot \tan A$

См. также

Список тригонометрических тождеств

Ссылки

^ Скромный, Крис (2001). Ключевая математика: GCSE, высшее . Фиона МакГилл. Челтнем: Издательство Стэнли Торнс. п. 51. ИСБН 0-7487-3396-5 . OCLC 47985033 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «SOHCAHTOA» . Математический мир .
^ Фостер, Джонатан К. (2008). Память: очень краткое введение . Оксфорд. п. 128. ИСБН 978-0-19-280675-8 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Тригонометрия» . Математический мир .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Штубен, Майкл; Сэндфорд, Дайан (1998). Двадцать лет до доски: уроки и юмор учителя математики . Серия Спектр. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. п. 119. ИСБН 978-0-88385-525-6 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с «Синус, косинус и тангенс в четырех квадрантах» . Математика — это весело . Архивировано из оригинала 18 января 2015 г. Проверено 18 января 2015 г.
^ Хэн, ХХ; Ченг, Ху; Талберт, Дж. Ф. (2005). Дополнительная математика . Pearson Education Южная Азия. п. 228. ИСБН 978-981-235-211-8 . Архивировано из оригинала 10 июня 2023 г.
^ «Математическая мнемотехника и песни по тригонометрии» . Онлайн-обучение математике . Архивировано из оригинала 17 октября 2019 г. Проверено 17 октября 2019 г.
^ Ларсон, Рон (2014). Предварительное исчисление с пределами: графический подход, Техасское издание (6-е изд.). Cengage Обучение.
^ «Волшебный шестиугольник для тригонометрических тождеств» . Математика — это весело . Архивировано из оригинала 05 февраля 2018 г. Проверено 4 февраля 2018 г.

[1] Скромный, Крис (2001). Ключевая математика: GCSE, высшее . Фиона МакГилл. Челтнем: Издательство Стэнли Торнс. п. 51. ИСБН 0-7487-3396-5 . OCLC 47985033 .

[mathworld-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «SOHCAHTOA» . Математический мир .

[3] Фостер, Джонатан К. (2008). Память: очень краткое введение . Оксфорд. п. 128. ИСБН 978-0-19-280675-8 .

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Тригонометрия» . Математический мир .

[steuben-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Штубен, Майкл; Сэндфорд, Дайан (1998). Двадцать лет до доски: уроки и юмор учителя математики . Серия Спектр. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. п. 119. ИСБН 978-0-88385-525-6 .

[mathfun-6] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с «Синус, косинус и тангенс в четырех квадрантах» . Математика — это весело . Архивировано из оригинала 18 января 2015 г. Проверено 18 января 2015 г.

[o698-7] Хэн, ХХ; Ченг, Ху; Талберт, Дж. Ф. (2005). Дополнительная математика . Pearson Education Южная Азия. п. 228. ИСБН 978-981-235-211-8 . Архивировано из оригинала 10 июня 2023 г.

[8] «Математическая мнемотехника и песни по тригонометрии» . Онлайн-обучение математике . Архивировано из оригинала 17 октября 2019 г. Проверено 17 октября 2019 г.

[9] Ларсон, Рон (2014). Предварительное исчисление с пределами: графический подход, Техасское издание (6-е изд.). Cengage Обучение.

[10] «Волшебный шестиугольник для тригонометрических тождеств» . Математика — это весело . Архивировано из оригинала 05 февраля 2018 г. Проверено 4 февраля 2018 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

v т и Научная мнемоника
Физика	ФБР Правило левой руки Правило правой руки ОБАФГКМ Планетарная мнемоника СУВАТ Термодинамический квадрат
Биология	ЧОН/ХНОПС ЭСКАППМ Четыре Ф Мнемоника таксономии Список мнемоник биохимии
Математика	ФОЛЬГА Мнемоника в тригонометрии ПЕМДАС Пифилология Ксиззи
Другой	Клорпт СКОРПАН Список мнемоник по химии