Интеграл от обратных функций
Часть серии статей о |
Исчисление |
---|
В математике первообразные интегралы от обратных функций можно вычислить с помощью формулы, выражающей обратных функций. непрерывной функции и обратимой , с точки зрения и первообразная от . Эту формулу опубликовал в 1905 году Шарль-Анж Лесан . [1]
Формулировка теоремы
[ редактировать ]Позволять и быть интервалами двумя . Предположим, что является непрерывной и обратимой функцией. следует Из теоремы о промежуточном значении , что является строго монотонным . Следовательно, отображает интервалы в интервалы, поэтому является открытым отображением и, следовательно, гомеоморфизмом. С и обратная функция непрерывны, имеют первообразные по основной теореме исчисления .
Лайзан доказал, что если является первообразной от , то первообразные являются:
где — произвольное действительное число. Обратите внимание, что не предполагается, что является дифференцируемым.
В своей статье 1905 года Лейсан привел три доказательства.
Первое доказательство
[ редактировать ]Во-первых, при дополнительной гипотезе, что дифференцируемо , можно дифференцировать приведенную выше формулу, что немедленно завершает доказательство.
Второе доказательство
[ редактировать ]Его второе доказательство было геометрическим. Если и , теорему можно записать:
Рисунок справа представляет собой доказательство без слов этой формулы. Лесан не обсуждает гипотезы, необходимые для строгости этого доказательства, но это можно доказать, если просто предполагается, что оно строго монотонно (но не обязательно непрерывно, не говоря уже о дифференцируемости). В этом случае оба и интегрируемы по Риману, и тождество следует из биекции между нижними/верхними Дарбу суммами и верхние/нижние суммы Дарбу . [2] [3] Тогда первообразная версия теоремы следует из основной теоремы исчисления в случае, когда также предполагается непрерывным.
Третье доказательство
[ редактировать ]Третье доказательство Лейсана использует дополнительную гипотезу о том, что является дифференцируемым. Начиная с , умножается на и объединяет обе стороны. Правая часть рассчитывается путем интегрирования по частям. , и формула следует.
Подробности
[ редактировать ]Можно также думать следующим образом, когда является дифференцируемым. Как является непрерывным в любом , дифференцируема вообще по основной теореме исчисления. С обратима, то ее производная обратилась бы в нуль не более чем в счетном числе точек. Отсортируйте эти точки по . С представляет собой композицию дифференцируемых функций на каждом интервале , можно применить цепное правило чтобы увидеть является первообразной для . Мы утверждаем также дифференцируема на каждом из и не становится неограниченным, если компактен. В таком случае является непрерывным и ограниченным. По непрерывности и основной теореме исчисления, где является константой, является дифференцируемым расширением . Но является непрерывным, поскольку представляет собой композицию непрерывных функций. Как и по дифференцируемости. Поэтому, . Теперь можно использовать фундаментальную теорему исчисления для вычисления .
Тем не менее можно показать, что эта теорема справедлива, даже если или не является дифференцируемым: [3] [4] достаточно, например, использовать в предыдущем рассуждении интеграл Стилтьеса. С другой стороны, хотя общие монотонные функции дифференцируемы почти всюду, доказательство общей формулы не следует, если только непрерывен абсолютно . [4]
Также можно проверить это для каждого в , производная функции равно . [ нужна ссылка ] Другими словами:
Для этого достаточно применить теорему о среднем значении к между и , принимая во внимание, что является монотонным.
Примеры
[ редактировать ]- Предположим, что , следовательно . Формула выше сразу дает
- Аналогично с и ,
- С и ,
История
[ редактировать ]По-видимому, эту теорему интегрирования впервые открыл в 1905 году Шарль-Анж Лесан , [1] которые «с трудом могли поверить, что эта теорема нова», и надеялись, что отныне ее использование распространится среди студентов и преподавателей. Этот результат был независимо опубликован в 1912 году итальянским инженером Альберто Каприлли в труде под названием «Nuove formole d'integrazione». [5] Он был вновь открыт в 1955 году Паркером. [6] и ряд математиков, последовавших за ним. [7] Тем не менее, все они предполагают, что f или f −1 является дифференцируемым . Общая версия теоремы , свободная от этого дополнительного предположения, была предложена Майклом Спиваком в 1965 году в качестве упражнения по исчислению . [2] и довольно полное доказательство в том же духе было опубликовано Эриком Ки в 1994 году. [3] Это доказательство опирается на само определение интеграла Дарбу и состоит в том, чтобы показать, что верхние суммы Дарбу функции f находятся в 1-1 соответствии с нижними суммами Дарбу функции f. −1 . В 2013 году Майкл Бенсимхун, посчитав, что общая теорема все еще недостаточно известна, дал еще два доказательства: [4] Второе доказательство, основанное на интеграле Стилтьеса и его формулах интегрирования по частям и гомеоморфной замены переменных , является наиболее подходящим для установления более сложных формул.
Обобщение на голоморфные функции
[ редактировать ]Приведенная выше теорема очевидным образом обобщается на голоморфные функции:Позволять и быть двумя открытыми и односвязными множествами , что и предположим является биголоморфизмом . Затем и имеют первообразные, и если является первообразной от , общая первообразная является
Поскольку все голоморфные функции дифференцируемы, доказательство осуществляется непосредственно путем комплексного дифференцирования.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Лайсант, К.-А. (1905). «Интегрирование обратных функций». Новая летопись математики, журнал кандидатов в политехнические и педагогические школы . 5 (4): 253–257.
- ^ Jump up to: а б Майкл Спивак , Исчисление (1967), гл. 13, стр. 235.
- ^ Jump up to: а б с Ки, Э. (март 1994 г.). «Диски, оболочки и интегралы от обратных функций». Математический журнал колледжа . 25 (2): 136–138. дои : 10.2307/2687137 . JSTOR 2687137 .
- ^ Jump up to: а б с Бенсимхун, Майкл (2013). «О первообразной обратной функции». arXiv : 1312.3839 [ math.HO ].
- ^ Читать онлайн
- ^ Паркер, Федеральный округ (июнь – июль 1955 г.). «Интегралы от обратных функций». Американский математический ежемесячник . 62 (6): 439–440. дои : 10.2307/2307006 . JSTOR 2307006 .
- ^ Также возможно, что некоторые или все они просто вспомнили об этом результате в своей статье, не ссылаясь на предыдущих авторов.
- Стаиб, Дж. Х. (сентябрь 1966 г.). «Интегрирование обратных функций». Журнал «Математика» . 39 (4): 223–224. дои : 10.2307/2688087 . JSTOR 2688087 .