Метод сокрытия Хевисайда

Метод прикрытия Хевисайда , названный в честь Оливера Хевисайда , представляет собой метод быстрого определения коэффициентов при выполнении частные дроби в разложения рациональной функции в случае линейных факторов. ^[1]^[2]^[3]^[4]

Метод

Разделение дробного алгебраического выражения на простейшие дроби — это обратный процесс объединения дробей путем преобразования каждой дроби к наименьшему общему знаменателю (ЖКД) и сложения числителей. Это разделение может быть осуществлено с помощью метода прикрытия Хевисайда, другого метода определения коэффициентов простейшей дроби. В первом случае имеются дробные выражения, в которых множители в знаменателе уникальны. Во втором случае есть дробные выражения, в которых некоторые факторы могут повторяться как степени бинома.

В интегральном исчислении мы хотели бы записать дробное алгебраическое выражение как сумму его частных дробей, чтобы взять интеграл каждой простой дроби отдельно. После того как исходный знаменатель D ₀ был разложен на множители, мы устанавливаем дробь для каждого множителя в знаменателе . Мы можем использовать индекс D для обозначения знаменателя соответствующих простейших дробей, которые являются множителями в D ₀ . Буквы A, B, C, D, E и т. д. будут обозначать числители соответствующих простейших дробей. Когда член частичной дроби имеет единственный (т.е. неповторяющийся) бином в знаменателе, числитель представляет собой остаток функции, определяемой входной дробью.

Мы вычисляем каждый соответствующий числитель следующим образом: (1) взяв корень знаменателя (т.е. значение x , которое делает знаменатель нулевым) и (2) затем подставив этот корень в исходное выражение, но игнорируя соответствующий множитель в знаменателе. Каждый корень переменной — это значение, которое дало бы неопределенное значение выражению, поскольку мы не делим на ноль.

Общая формула кубического знаменателя с тремя различными корнями :

{\frac {\ell x^{2}+mx+n}{(x-a)(x-b)(x-c)}}={\frac {A}{(x-a)}}+{\frac {B}{(x-b)}}+{\frac {C}{(x-c)}}

Где

A={\frac {\ell a^{2}+ma+n}{(a-b)(a-c)}};

и где

B={\frac {\ell b^{2}+mb+n}{(b-c)(b-a)}};

и где

C={\frac {\ell c^{2}+mc+n}{(c-a)(c-b)}}.

Случай первый

Факторифицируйте выражение в знаменателе. Задайте неполную дробь для каждого множителя в знаменателе. Примените правило сокрытия, чтобы найти новый числитель каждой дроби.

Пример

{\frac {3x^{2}+12x+11}{(x+1)(x+2)(x+3)}}={\frac {A}{x+1}}+{\frac {B}{x+2}}+{\frac {C}{x+3}}

Задайте неполную дробь для каждого множителя в знаменателе. С помощью этой структуры мы применяем правило сокрытия для решения A , B и C .

D ₁ представляет собой х + 1; установите его равным нулю. Это дает вычет для A, когда x = −1.
Далее подставляем это значение x в дробное выражение, но без D ₁ .
Запишите это значение как значение A .

для B и C. Поступайте аналогично

D ₂ представляет собой х + 2; Для остатка B используйте x = −2.

D ₃ представляет собой х + 3; Для остатка C используйте x = −3.

Таким образом, чтобы найти A , используйте x = −1 в выражении, но без D ₁ :

{\frac {3x^{2}+12x+11}{(x+2)(x+3)}}={\frac {3-12+11}{(1)(2)}}={\frac {2}{2}}=1=A.

Таким образом, чтобы найти B , используйте x = −2 в выражении, но без D ₂ :

{\frac {3x^{2}+12x+11}{(x+1)(x+3)}}={\frac {12-24+11}{(-1)(1)}}={\frac {-1}{(-1)}}=+1=B.

Таким образом, чтобы найти C , используйте x = −3 в выражении, но без D ₃ :

{\frac {3x^{2}+12x+11}{(x+1)(x+2)}}={\frac {27-36+11}{(-2)(-1)}}={\frac {2}{(+2)}}=+1=C.

Таким образом,

{\frac {3x^{2}+12x+11}{(x+1)(x+2)(x+3)}}={\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{x+2}}+{\frac {1}{x+3}}

Случай второй

Когда факторы знаменателя включают степени одного выражения, мы

Установите частичную дробь для каждого уникального фактора и каждой нижней степени D;
Составьте уравнение, показывающее соотношение числителей, если все они были преобразованы в ЖК-дисплей.

Из уравнения числителей решаем для каждого числителя A, B, C, D и так далее.Это уравнение числителей представляет собой абсолютное тождество, верное для всех значений x. Итак, мы можем выбрать любое значение x и найти числитель.

Пример

{\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {A}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {B}{1-2x}}

Здесь мы устанавливаем неполную дробь для каждой нисходящей степени знаменателя. Затем мы находим числители A и B. Поскольку $(1-2x)$ является повторяющимся фактором, теперь нам нужно найти два числа, так как нам нужно дополнительное соотношение, чтобы найти оба числа.Для записи отношения числителей второй дроби нужен еще один множитель $(1-2x)$ чтобы преобразовать его в ЖК-дисплей, что дает нам $3x+5=A+B(1-2x)$ . В общем случае, если биномиальный коэффициент возвести в степень $n$ , затем $n$ константы $A_{k}$ будут необходимы, каждая из которых будет разделена последовательными полномочиями, $(1-2x)^{k}$ , где $k$ работает от 1 до $n$ . Правило сокрытия можно использовать для обнаружения $A_{n}$ , но все еще $A_{1}$ это называется остатком . Здесь, $n=2$ , $A=A_{2}$ , и $B=A_{1}$

Решить для $A$ :

$A$ можно решить, приравняв знаменатель первой дроби к нулю, $1-2x=0$ .

Решение для $x$ дает значение сокрытия для $A$ : когда $x=1/2$ .

Когда мы подставляем это значение, $x=1/2$ , мы получаем:

3\left({\frac {1}{2}}\right)+5=A+B(0)

A={\frac {3}{2}}+5={\frac {13}{2}}

Решить для $B$ :

Поскольку здесь уравнение числителей $3x+5=A+B(1-2x)$ , верно для всех значений $x$ , выберите значение для $x$ и использовать его для решения $B$ .

Поскольку мы решили значение $A$ выше, $A=13/2$ , мы можем использовать это значение для решения $B$ .

Мы можем выбрать $x=0$ , использовать $A=13/2$ , а затем решить $B$ :

{\begin{aligned}3x+5&=A+B(1-2x)\\0+5&={\frac {13}{2}}+B(1+0)\\{\frac {10}{2}}&={\frac {13}{2}}+B\\-{\frac {3}{2}}&=B\\\end{aligned}}

Мы можем выбрать $x=1$ , Затем решите $B$ :

{\begin{aligned}3x+5&=A+B(1-2x)\\3+5&={\frac {13}{2}}+B(1-2)\\8&={\frac {13}{2}}+B(-1)\\{\frac {16}{2}}&={\frac {13}{2}}-B\\B&=-{\frac {3}{2}}\end{aligned}}

Мы можем выбрать $x=-1$ . Решите для $B$ :

{\begin{aligned}3x+5&=A+B(1-2x)\\-3+5&={\frac {13}{2}}+B(1+2)\\{\frac {4}{2}}&={\frac {13}{2}}+3B\\-{\frac {9}{2}}&=3B\\-{\frac {3}{2}}&=B\end{aligned}}

Следовательно,

{\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {13/2}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {-3/2}{(1-2x)}},

или

{\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {13}{2(1-2x)^{2}}}-{\frac {3}{2(1-2x)}}

Ссылки

^ Исчисление и аналитическая геометрия, 7-е издание, Томас/Финни, 1988, стр. 482-489.
^ Зилл, Деннис Г.; Райт, Уоррен С. (2013). «Глава 7: Преобразование Лапласа». Дифференциальные уравнения с краевыми задачами (8-е изд.). Брукс/Коул Сенгедж Обучение. стр. 287–88. ISBN 978-1-111-82706-9 .
^ Томас, Джордж Б .; Вейр, Морис Д.; Хасс, Джоэл (2010). «Глава 8: Методы интеграции». Исчисление Томаса: ранние трансценденталии (12-е изд.). Аддисон-Уэсли. стр. 476–78. ISBN 978-0-321-58876-0 .
^ Винер, Джозеф; Уоткинс, Уилл (осень 1993 г. - весна 1994 г.). «Алгебрическое исчисление в связи с разложением частичных дробей» . Обзор AMATYC . 15 (1–2): 28–30.

Внешние ссылки

[1] Исчисление и аналитическая геометрия, 7-е издание, Томас/Финни, 1988, стр. 482-489.

[2] Зилл, Деннис Г.; Райт, Уоррен С. (2013). «Глава 7: Преобразование Лапласа». Дифференциальные уравнения с краевыми задачами (8-е изд.). Брукс/Коул Сенгедж Обучение. стр. 287–88. ISBN 978-1-111-82706-9 .

[:7-3] Томас, Джордж Б .; Вейр, Морис Д.; Хасс, Джоэл (2010). «Глава 8: Методы интеграции». Исчисление Томаса: ранние трансценденталии (12-е изд.). Аддисон-Уэсли. стр. 476–78. ISBN 978-0-321-58876-0 .

[4] Винер, Джозеф; Уоткинс, Уилл (осень 1993 г. - весна 1994 г.). «Алгебрическое исчисление в связи с разложением частичных дробей» . Обзор AMATYC . 15 (1–2): 28–30.

[1]

[2]

[3]

[4]