Формальные критерии для сопряженных функторов

В теории категорий , разделе математики, формальными критериями сопряженных функторов являются критерии существования левого или правого сопряженного данного функтора .

Одним из критериев является следующий, который впервые появился в Питера Дж. Фрейда книге «Абелевы категории, введение в теорию функторов» в 1964 году :

Теория сопряженных функций Фрейда - Позволять $G:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {A}}$ быть функтором между категориями таким, что ${\mathcal {B}}$ завершен. Тогда следующие выражения эквивалентны (для простоты игнорируем вопросы теории множеств):

1. G имеет левый сопряженный.
2. $G$ сохраняет все пределы и для каждого объекта x в ${\mathcal {A}}$, существуют множество I и I -индексированное семейство морфизмов $f_{i}:x\to Gy_{i}$ такая, что каждый морфизм $x\to Gy$ имеет форму $G(y_{i}\to y)\circ f_{i}$ для некоторого морфизма $y_{i}\to y$.

Еще один критерий:

Критерий Кана существования левого сопряженного — Пусть $G:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {A}}$ быть функтором между категориями. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

1. G имеет левый сопряженный.
2. G сохраняет пределы и для каждого объекта x в ${\mathcal {A}}$, предел $\lim({(x\downarrow G)\to {\mathcal {B}}})$ существует в ${\mathcal {B}}$.
3. Правильное расширение Кана $G_{!}1_{\mathcal {B}}$ тождественного функтора $1_{\mathcal {B}}$ вдоль G существует и сохраняется G .

Более того, в этом случае левый сопряженный к G можно вычислить, используя правое расширение Кана .

См. также

• Анафунктор

Библиография

• Мак Лейн, Сондерс (17 апреля 2013 г.). Категории для работающего математика . Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-4757-4721-8 .
• Борсо, Фрэнсис (1994). «Сопряженные функторы». Справочник по категориальной алгебре . стр. 96–131. дои : 10.1017/CBO9780511525858.005 . ISBN  978-0-521-44178-0 .
• Ленстер, Том (2014), Базовая теория категорий , arXiv : 1612.09375 , doi : 10.1017/CBO9781107360068 , ISBN  978-1-107-04424-1
• Фрейд, Питер (2003). «Абелевы категории» (PDF) . Перепечатки по теории и приложениям категорий (3): 23–164.
• Келли, Грегори Максвелл (1982), Основные понятия расширенной теории категорий (PDF) , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 64, Издательство Кембриджского университета, Кембридж-Нью-Йорк, ISBN  0-521-28702-2 , МР   0651714
• Ульмер, Фридрих (1971). «Теорема о сопряженном функторе и вложение Йонеды». Иллинойсский математический журнал . 15 (3). дои : 10.1215/ijm/1256052605 .
• Медведев, М.Я. (1975). «Полусопряженные функторы и расширения Кана». Сибирский математический журнал . 15 (4): 674–676. дои : 10.1007/BF00967444 .
• Феферман, Соломон; Крейзель, Г. (1969). «Теоретико-множественные основы теории категорий». Отчеты семинара III категории Среднего Запада . Конспект лекций по математике. Том. 106. 3.3. Практический пример современной теории категорий: конкретные иллюстрации. стр. 201–247. дои : 10.1007/BFb0059148 . ISBN  978-3-540-04625-7 . {{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка ) CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Лейн, Сондерс Мак (1969). «Основы категорий и множеств». Теория категорий, теория гомологии и их приложения II . Конспект лекций по математике. Том. 92. V. ТЕОРЕМА О СОПРЯЖЕННОМ ФУНКТОРЕ. стр. 146–164. дои : 10.1007/BFb0080770 . ISBN  978-3-540-04611-0 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

Внешняя ссылка

• Порст, Ханс-Э. (2023). «История общей теоремы о присоединенном функторе». arXiv : 2310.19528 [ math.CT ].
• Ленер, Марина (советник: Эмили, Риль) (2014). «Все понятия являются расширениями Кана» Расширения Кана как наиболее универсальные из универсальных конструкций (PDF) (старшая диссертация). Гарвардский колледж. {{cite thesis}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• «Теорема о сопряженном операторе» . ncatlab.org
• Жан Губо-Ларрек. «Теоремы о сопряженных функторах: GAFT и SAFT» . Нехаусдорфова топология и теория предметных областей: Электронные приложения к книге .
• «условие набора решений» . ncatlab.org .