Симметричная производная

В математике симметричная производная — это операция, обобщающая обычную производную .

Он определяется как: ^[1]^[2] $\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}.$

Выражение под пределом иногда называют симметричным разностным коэффициентом . ^[3]^[4] Функция называется симметрично дифференцируемой в точке x, если в этой точке существует ее симметричная производная.

Если функция дифференцируема (в обычном смысле) в точке, то она также симметрично дифференцируема, но обратное неверно. Хорошо известным контрпримером является абсолютного значения функция $f (x) = | х |$ , который не дифференцируем в точке $x = 0$ , но здесь симметрично дифференцируем с симметричной производной 0. Для дифференцируемых функций симметричный разностный коэффициент действительно обеспечивает лучшее численное приближение производной, чем обычный разностный коэффициент. ^[3]

Симметричная производная в данной точке равна среднему арифметическому левой и правой производных в этой точке, если обе последние существуют. ^[1]^[2]^: 6

Ни теорема Ролля , ни теорема о среднем значении не верны для симметричной производной; были доказаны некоторые аналогичные, но более слабые утверждения.

Примеры

Функция абсолютного значения

График функции абсолютного значения. Обратите внимание на резкий поворот при $x = 0$ , приводящий к недифференцируемости кривой при $x = 0$ . Таким образом, функция не имеет обычной производной в точке $x = 0$ . Однако симметричная производная существует для функции при $x = 0$ .

Для абсолютного значения функции $f(x)=|x|$ , используя обозначение $f_{s}(x)$ для симметричной производной мы имеем при $x=0$ что ${\begin{aligned}f_{s}(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(-h)}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {|h|-|{-h}|}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {|h|-|h|}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{2h}}=0.\\\end{aligned}}$

Следовательно, симметричная производная функции абсолютного значения существует при $x=0$ и равна нулю, хотя ее обычная производная в этой точке не существует (из-за «резкого» поворота кривой в точке $x=0$ ).

Обратите внимание, что в этом примере существуют как левая, так и правая производные в точке 0, но они неравны (одна равна −1, а другая равна +1); их среднее значение равно 0, как и ожидалось.

Функция х ⁻²

График $y = 1/ x 2$ . Обратите внимание на разрыв в $x = 0$ . Таким образом, функция не имеет обычной производной в точке $x = 0$ . Однако симметричная производная существует для функции при $x = 0$ .

Для функции $f(x)=1/x^{2}$ , в $x=0$ у нас есть ${\begin{aligned}f_{s}(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(-h)}{2h}}\\[1ex]&=\lim _{h\to 0}{\frac {1/h^{2}-1/(-h)^{2}}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1/h^{2}-1/h^{2}}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{2h}}=0.\end{aligned}}$

Опять же, для этой функции симметричная производная существует при $x=0$ , а его обычная производная не существует при $x=0$ из-за разрыва кривой там. При этом ни левая, ни правая производная не конечны в точке 0, т. е. это существенный разрыв .

Функция Дирихле

Функция Дирихле , определяемая как: $f(x)={\begin{cases}1,&{\text{if }}x{\text{ is rational}}\\0,&{\text{if }}x{\text{ is irrational}}\end{cases}}$ имеет симметричную производную в каждом $x\in \mathbb {Q}$ , но не является симметрично дифференцируемым ни при каком $x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ ; т.е. симметричная производная существует в рациональных числах , но не в иррациональных числах .

Теорема о квазисреднем значении

Симметричная производная не подчиняется обычной теореме о среднем значении (Лагранжа). В качестве контрпримера: симметричная производная $f (x) = | х |$ имеет образ ${-1, 0, 1}$ , но секущие для f могут иметь более широкий диапазон наклонов; например, на интервале $[-1, 2]$ теорема о среднем значении требует существования точки, в которой (симметричная) производная принимает значение ${\frac {|2|-|-1|}{2-(-1)}}={\frac {1}{3}}$ . ^[5]

Теорема, отчасти аналогичная теореме Ролля , но для симметричной производной, была установлена в 1967 году К. Э. Оллом, который назвал ее квази-теоремой Ролля. Если $f$ непрерывна на замкнутом интервале $[a, b]$ и симметрично дифференцируема на открытом интервале $(a, b)$ , и $f (a) = f (b) = 0$ , то существуют две точки $x$ , $y$ в $(a, b)$ такие, что $f s (x) \geq 0$ и $f s (y) \leq 0$ . Лемма, также установленная Оллом в качестве трамплина к этой теореме, гласит, что если $f$ непрерывна на замкнутом интервале $[a, b]$ и симметрично дифференцируема на открытом интервале $(a, b)$ , и, кроме того, $f (b) > f (a)$ , то существует точка $z$ в $(a, b),$ где симметричная производная неотрицательна, или в использованных выше обозначениях $f s (z) \geq 0$ . Аналогично, если $f (b) < f (a)$ , то существует точка $z$ в $(a, b),$ где $f s (z) \leq 0$ . ^[5]

Теорема о квазисреднем значении для симметрично дифференцируемой функции утверждает, что если $f$ непрерывна на замкнутом интервале $[a, b]$ и симметрично дифференцируема на открытом интервале $(a, b)$ , то существуют $x$ , $y$ в $(a, б)$ такой, что ^[5]^[2]^: 7

$f_{s}(x)\leq {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\leq f_{s}(y).$

В качестве приложения можно использовать теорему о квазисреднем значении для $f (x) = | х |$ содержащем 0, предсказывает, что наклон любой секущей f $на интервале ,$ находится в диапазоне от -1 до 1.

Если симметричная производная $f$ обладает свойством Дарбу , то (форма) регулярной теоремы о среднем значении (Лагранжа) верна, т.е. существует $z$ в $(a, b)$ такой, что ^[5] $f_{s}(z)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.$

Как следствие, если функция непрерывна и ее симметричная производная также непрерывна (следовательно, обладает свойством Дарбу), то функция дифференцируема в обычном смысле. ^[5]

Обобщения

Это понятие обобщается на симметричные производные более высокого порядка, а также на n -мерные евклидовы пространства .

Вторая симметричная производная

Вторая симметричная производная определяется как ^[6]^[2]^: 1 $\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.$

Если (обычная) вторая производная существует, то вторая симметричная производная существует и равна ей. ^[6] Однако вторая симметричная производная может существовать, даже если (обычная) вторая производная не существует. В качестве примера рассмотрим знаковую функцию $\operatorname {sgn}(x)$ , который определяется $\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}$

Знаковая функция не является непрерывной в нуле, поэтому вторая производная для $x=0$ не существует. Но вторая симметричная производная существует для $x=0$ : $\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.$

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Питер Р. Мерсер (2014). Подробнее об исчислении одной переменной . Спрингер. п. 173. ИСБН 978-1-4939-1926-0 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Томсон, Брайан С. (1994). Симметричные свойства действительных функций . Марсель Деккер. ISBN 0-8247-9230-0 .
^ Jump up to: ^а ^б Питер Д. Лакс; Мария Ши Террелл (2013). Исчисление с приложениями . Спрингер. п. 213. ИСБН 978-1-4614-7946-8 .
^ Ширли О. Хокетт; Дэвид Бок (2005). Бэррон «Как подготовиться к расчету AP» . Образовательная серия Бэррона. стр. 53 . ISBN 978-0-7641-2382-5 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Саху, Прасанна; Ридель, Томас (1998). Теоремы о среднем значении и функциональные уравнения . Всемирная научная. стр. 188–192. ISBN 978-981-02-3544-4 .
^ Jump up to: ^а ^б А. Зигмунд (2002). Тригонометрический ряд . Издательство Кембриджского университета. стр. 22–23. ISBN 978-0-521-89053-3 .

А.Б. Харазишвили (2005). Странные функции в реальном анализе (2-е изд.). ЦРК Пресс. п. 34. ISBN 978-1-4200-3484-4 .
Олл, CE (1967). «Первая симметричная производная». Являюсь. Математика. Пн . 74 (6): 708–711. дои : 10.1080/00029890.1967.12000020 .

Внешние ссылки

[Mercer2014-1] Jump up to: ^а ^б Питер Р. Мерсер (2014). Подробнее об исчислении одной переменной . Спрингер. п. 173. ИСБН 978-1-4939-1926-0 .

[Thomson-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Томсон, Брайан С. (1994). Симметричные свойства действительных функций . Марсель Деккер. ISBN 0-8247-9230-0 .

[LaxTerrell2013-3] Jump up to: ^а ^б Питер Д. Лакс; Мария Ши Террелл (2013). Исчисление с приложениями . Спрингер. п. 213. ИСБН 978-1-4614-7946-8 .

[HockettBock2005-4] Ширли О. Хокетт; Дэвид Бок (2005). Бэррон «Как подготовиться к расчету AP» . Образовательная серия Бэррона. стр. 53 . ISBN 978-0-7641-2382-5 .

[SahooRiedel1998-5] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Саху, Прасанна; Ридель, Томас (1998). Теоремы о среднем значении и функциональные уравнения . Всемирная научная. стр. 188–192. ISBN 978-981-02-3544-4 .

[Zygmund2002-6] Jump up to: ^а ^б А. Зигмунд (2002). Тригонометрический ряд . Издательство Кембриджского университета. стр. 22–23. ISBN 978-0-521-89053-3 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]