Теорема Дарбу (анализ)

В математике теорема Дарбу — это теорема реального анализа , названная в честь Жана Гастона Дарбу . что каждая функция, возникающая в результате дифференцирования другой функции, обладает свойством промежуточного значения : образ интервала Он утверждает , также является интервалом.

Когда ƒ дифференцируемо непрерывно ( ƒ в C ¹([ a , b ])) это следствие теоремы о промежуточном значении . Но даже если ƒ' является не непрерывным, теорема Дарбу накладывает серьезные ограничения на то, каким оно может быть.

Теорема Дарбу

Позволять $I$ быть замкнутым интервалом , $f\colon I\to \mathbb {R}$ быть вещественной дифференцируемой функцией. Затем $f'$ имеет свойство промежуточного значения : Если $a$ и $b$ являются точками в $I$ с $a<b$ , то для каждого $y$ между $f'(a)$ и $f'(b)$ , существует $x$ в $[a,b]$ такой, что $f'(x)=y$ . ^[1]^[2]^[3]

Доказательства

Доказательство 1. Первое доказательство основано на теореме о крайних значениях .

Если $y$ равно $f'(a)$ или $f'(b)$ , затем установка $x$ равный $a$ или $b$ соответственно, дает желаемый результат. Теперь предположим, что $y$ находится строго между $f'(a)$ и $f'(b)$ , и в частности, что $f'(a)>y>f'(b)$ . Позволять $\varphi \colon I\to \mathbb {R}$ такой, что $\varphi (t)=f(t)-yt$ . Если это так, $f'(a)<y<f'(b)$ мы корректируем приведенное ниже доказательство, вместо этого утверждая, что $\varphi$ имеет свой минимум на $[a,b]$ .

С $\varphi$ непрерывен на отрезке $[a,b]$ , максимальное значение $\varphi$ на $[a,b]$ достигается в какой-то момент $[a,b]$ , согласно теореме об экстремальных значениях .

Потому что $\varphi '(a)=f'(a)-y>0$ , мы знаем $\varphi$ не может достичь своего максимального значения при $a$ . (Если это так, то $(\varphi (t)-\varphi (a))/(t-a)\leq 0$ для всех $t\in (a,b]$ , что подразумевает $\varphi '(a)\leq 0$ .)

Аналогично, поскольку $\varphi '(b)=f'(b)-y<0$ , мы знаем $\varphi$ не может достичь своего максимального значения при $b$ .

Поэтому, $\varphi$ должно достичь своего максимального значения в какой-то момент $x\in (a,b)$ . Следовательно, по Ферма теореме $\varphi '(x)=0$ , то есть $f'(x)=y$ .

Доказательство 2. Второе доказательство основано на объединении теоремы о среднем значении и теоремы о промежуточном значении . ^[1]^[2]

Определять $c={\frac {1}{2}}(a+b)$ .Для $a\leq t\leq c,$ определять $\alpha (t)=a$ и $\beta (t)=2t-a$ .И для $c\leq t\leq b,$ определять $\alpha (t)=2t-b$ и $\beta (t)=b$ .

Таким образом, для $t\in (a,b)$ у нас есть $a\leq \alpha (t)<\beta (t)\leq b$ .Теперь определите $g(t)={\frac {(f\circ \beta )(t)-(f\circ \alpha )(t)}{\beta (t)-\alpha (t)}}$ с $a<t<b$ . $\,g$ является непрерывным в $(a,b)$ .

Более того, $g(t)\rightarrow {f}'(a)$ когда $t\rightarrow a$ и $g(t)\rightarrow {f}'(b)$ когда $t\rightarrow b$ ; следовательно, из теоремы о промежуточном значении, если $y\in ({f}'(a),{f}'(b))$ тогда существует $t_{0}\in (a,b)$ такой, что $g(t_{0})=y$ .Давайте исправим $t_{0}$ .

По теореме о среднем значении существует точка $x\in (\alpha (t_{0}),\beta (t_{0}))$ такой, что ${f}'(x)=g(t_{0})$ .Следовательно, ${f}'(x)=y$ .

Функция Дарбу

Функция Дарбу — это функция с действительным знаком ƒ, которая имеет «свойство промежуточного значения»: для любых двух значений a и b в области ƒ и любого y между ƒ ( a ) и ƒ ( b ) существует некоторый c между a и b с ƒ ( c ) = y . ^[4] По теореме о промежуточном значении каждая непрерывная функция на вещественном интервале является функцией Дарбу. Вклад Дарбу заключался в том, чтобы показать, что существуют разрывные функции Дарбу.

Каждый разрыв функции Дарбу существенен , то есть в любой точке разрыва не существует хотя бы одного из левого и правого пределов.

Примером функции Дарбу, разрывной в одной точке, является функция синусоидальной кривой тополога :

x\mapsto {\begin{cases}\sin(1/x)&{\text{for }}x\neq 0,\\0&{\text{for }}x=0.\end{cases}}

По теореме Дарбу производная любой дифференцируемой функции является функцией Дарбу. В частности, производная функции $x\mapsto x^{2}\sin(1/x)$ является функцией Дарбу, хотя в одной точке она не непрерывна.

Примером функции Дарбу, которая нигде не является непрерывной, является функция Конвея по основанию 13 .

Функции Дарбу представляют собой довольно общий класс функций. Оказывается, любую действительную функцию ƒ на действительной прямой можно записать как сумму двух функций Дарбу. ^[5] Отсюда, в частности, следует, что класс функций Дарбу не замкнут относительно сложения.

Сильно функция Дарбу — это такая функция, для которой образом каждого (непустого) открытого интервала является вся вещественная прямая. Функция Конвея по основанию 13 снова является примером. ^[4]

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б Апостол, Том М.: Математический анализ: современный подход к расширенному исчислению, 2-е издание, Addison-Wesley Longman, Inc. (1974), стр. 112.
^ Jump up to: ^а ^б Олсен, Ларс: Новое доказательство теоремы Дарбу , Vol. 111, № 8 (октябрь 2004 г.) (стр. 713–715), The American Mathematical Monthly.
^ Рудин, Уолтер: Принципы математического анализа, 3-е издание, MacGraw-Hill, Inc. (1976), стр. 108
^ Jump up to: ^а ^б Чесельский, Кшиштоф (1997). Теория множеств для работающего математика . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 39. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 106–111. ISBN 0-521-59441-3 . Збл 0938.03067 .
^ Брукнер, Эндрю М.: Дифференциация действительных функций , 2-е изд., стр. 6, Американское математическое общество, 1994 г.

Внешние ссылки

Эта статья включает в себя материал из теоремы Дарбу о PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
«Теорема Дарбу» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[Apostol1974-1] Jump up to: ^а ^б Апостол, Том М.: Математический анализ: современный подход к расширенному исчислению, 2-е издание, Addison-Wesley Longman, Inc. (1974), стр. 112.

[Olsen2004-2] Jump up to: ^а ^б Олсен, Ларс: Новое доказательство теоремы Дарбу , Vol. 111, № 8 (октябрь 2004 г.) (стр. 713–715), The American Mathematical Monthly.

[Rudin1976-3] Рудин, Уолтер: Принципы математического анализа, 3-е издание, MacGraw-Hill, Inc. (1976), стр. 108

[Cie-4] Jump up to: ^а ^б Чесельский, Кшиштоф (1997). Теория множеств для работающего математика . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 39. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 106–111. ISBN 0-521-59441-3 . Збл 0938.03067 .

[5] Брукнер, Эндрю М.: Дифференциация действительных функций , 2-е изд., стр. 6, Американское математическое общество, 1994 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]