Пределы интеграции

В исчислении и математическом анализе пределы интегрирования (или границы интегрирования ) интеграла $$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$$

функции интегрируемой по Риману , $f$ определенные на замкнутом и ограниченном интервале, являются действительными числами $a$ и $b$, в котором $a$ называется нижним пределом и $b$ верхний предел . область Ограниченную можно рассматривать как область внутри $a$ и $b$.

Например, функция $f(x)=x^{3}$ определяется на интервале $[2,4]$$$\int _{2}^{4}x^{3}\,dx$$при этом пределы интеграции $2$ и $4$.

Интегрирование путем замены (U-замена)

При интеграции путем замены пределы интеграции изменятся в связи с интеграцией новой функции. С помощью полученной функции $a$ и $b$ решены для $f(u)$. В общем, $$\int _{a}^{b}f(g(x))g'(x)\ dx=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du$$где $u=g(x)$ и $du=g'(x)\ dx$. Таким образом, $a$ и $b$ будет решено с точки зрения $u$; нижняя граница $g(a)$ и верхняя граница $g(b)$.

Например, $$\int _{0}^{2}2x\cos(x^{2})dx=\int _{0}^{4}\cos(u)\,du$$

где $u=x^{2}$ и $du=2xdx$. Таким образом, $f(0)=0^{2}=0$ и $f(2)=2^{2}=4$. Следовательно, новые пределы интеграции таковы: $0$ и $4$.

То же самое касается и других замен.

Несобственные интегралы

Пределы интегрирования также могут быть определены для несобственных интегралов , причем пределы интегрирования обоих $$\lim _{z\to a^{+}}\int _{z}^{b}f(x)\,dx$$и $$\lim _{z\to b^{-}}\int _{a}^{z}f(x)\,dx$$снова быть a и b . Для несобственного интеграла $$\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx$$или $$\int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx$$пределы интегрирования равны a и ∞ или −∞ и b соответственно.

Определенные интегралы

Если $c\in (a,b)$, затем $$\int _{a}^{b}f(x)\ dx=\int _{a}^{c}f(x)\ dx\ +\int _{c}^{b}f(x)\ dx.$$

См. также

• Интеграл
• Интегрирование Римана
• Определенный интеграл