Разделить интервал

В топологии разделенный интервал , или пространство с двойной стрелкой , представляет собой топологическое пространство , возникающее в результате разделения каждой точки замкнутого интервала на две соседние точки и придания результирующему упорядоченному множеству порядковой топологии . Он обладает различными интересными свойствами и служит полезным контрпримером в общей топологии .

Определение

Разделенный интервал можно определить как лексикографическое произведение. $[0,1]\times \{0,1\}$ оснащен заказной топологией . ^[1] Эквивалентно, пространство можно построить, взяв замкнутый интервал $[0,1]$ в обычном порядке, разделяя каждую точку $a$ на две соседние точки $a^{-}<a^{+}$ , и придавая результирующему линейно упорядоченному множеству топологию порядка. ^[2] Пространство также известно как пространство с двойной стрелкой . ^[3]^[4] Александрова двойная стрелка пробел или две стрелки пробел .

Пространство выше представляет собой линейно упорядоченное топологическое пространство с двумя изолированными точками: $(0,0)$ и $(1,1)$ в лексикографическом произведении. Некоторые авторы ^[5]^[6] возьмем в качестве определения одно и то же пространство без двух изолированных точек. (В описании разделения точек это соответствует отказу от разделения конечных точек. $0$ и $1$ интервала.) Полученное пространство имеет по существу те же свойства.

Пространство с двойной стрелкой является подпространством лексикографически упорядоченного единичного квадрата . Если игнорировать изолированные точки, база топологии пространства с двойной стрелкой состоит из всех множеств вида $((a,b]\times \{0\})\cup ([a,b)\times \{1\})$ с $a<b$ . (В описании точечного расщепления это замкнутые интервалы вида $[a^{+},b^{-}]=(a^{-},b^{+})$ , которые одновременно являются замкнутыми и открытыми интервалами.) Нижнее подпространство $(0,1]\times \{0\}$ гомеоморфна подпространством линии Соргенфрея с полуоткрытыми интервалами слева в качестве основы топологии и верхним $[0,1)\times \{1\}$ гомеоморфна линии Соргенфрея с полуоткрытыми промежутками справа в качестве основания, как две параллельные стрелы, идущие в противоположные стороны, отсюда и название.

Характеристики

Разделенный интервал $X$ — нульмерный бикомпакт . Это линейно упорядоченное топологическое пространство , которое сепарабельно , но не счетно по счету и , следовательно, не метризуемо ; все его метризуемые подпространства счетны.

Он наследственно Линделёфов , наследственно отделим и совершенно нормален (Т6 ₎ . Но продукт $X\times X$ пространства с самим собой не является даже наследственно нормальным (Т ₅ ), так как содержит копию плоскости Соргенфрея , которая не является нормальной .

Все компактные сепарабельные упорядоченные пространства порядково-изоморфны подмножеству расщепляемого интервала. ^[7]

См. также

Список топологий - Список конкретных топологий и топологических пространств.

Примечания

^ Тодорчевич, Стево (6 июля 1999 г.), «Компактные подмножества первого класса Бэра», Журнал Американского математического общества , 12 : 1179–1212, doi : 10.1090/S0894-0347-99-00312-4
^ Фремлин, раздел 419L
^ Arhangel'skii, p. 39
^ Ма, Дэн. «Лексикографический порядок и пространство двойной стрелки» .
^ Стин и Зеебах, контрпример № 95, под названием топология слабых параллельных линий.
^ Энгелькинг, пример 3.10.C.
^ Осташевский, AJ (февраль 1974 г.), «Характеристика компактных, сепарабельных, упорядоченных пространств», Журнал Лондонского математического общества , s2-7 (4): 758–760, doi : 10.1112/jlms/s2-7.4.758

Ссылки

Arhangel'skii, A.V. and Sklyarenko, E.G.., General Topology II , Springer-Verlag, New York (1996) ISBN 978-3-642-77032-6
Энгелькинг, Рихард , Общая топология , Heldermann Verlag, Берлин, 1989. ISBN 3-88538-006-4
Фремлин, Д.Х. (2003), Теория меры, Том 4 , Торрес Фремлин, ISBN 0-9538129-4-4
Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( Дувра переиздание , изд. 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3 . МР 0507446 .

[1] Тодорчевич, Стево (6 июля 1999 г.), «Компактные подмножества первого класса Бэра», Журнал Американского математического общества , 12 : 1179–1212, doi : 10.1090/S0894-0347-99-00312-4

[2] Фремлин, раздел 419L

[3] Arhangel'skii, p. 39

[4] Ма, Дэн. «Лексикографический порядок и пространство двойной стрелки» .

[5] Стин и Зеебах, контрпример № 95, под названием топология слабых параллельных линий.

[6] Энгелькинг, пример 3.10.C.

[7] Осташевский, AJ (февраль 1974 г.), «Характеристика компактных, сепарабельных, упорядоченных пространств», Журнал Лондонского математического общества , s2-7 (4): 758–760, doi : 10.1112/jlms/s2-7.4.758

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]