Коконечность

В математике коконечное подмножество множества $X$ является подмножеством $A$ которого дополнение в $X$ является конечным множеством . Другими словами, $A$ содержит все элементы, кроме конечного числа $X.$ Если дополнение не конечно, но счетно, то говорят, что множество сосчетно .

Они возникают естественным образом при обобщении структур конечных множеств на бесконечные множества, особенно на бесконечные произведения, как в топологии произведения или прямой сумме .

Такое использование префикса « со , » для описания свойства, которым обладает дополнение к набору согласуется с его использованием в других терминах, таких как « со- скудное множество ».

Булевы алгебры

Набор всех подмножеств $X$ которые либо конечны, либо коконечны, образует булеву алгебру , что означает, что она замкнута относительно операций объединения , пересечения и дополнения. Эта булева алгебра является конечная-коконечная алгебра на $X.$

В другом направлении булева алгебра $A$ имеет единственный неглавный ультрафильтр (т. е. максимальный фильтр, не порожденный ни одним элементом алгебры) тогда и только тогда, когда существует бесконечное множество $X$ такой, что $A$ изоморфна конечно-коконитной алгебре на $X.$ В этом случае неглавный ультрафильтр представляет собой набор всех коконитных подмножеств $X$ .

Коконечная топология

Коконечная топология (иногда называемая топологией конечного дополнения ) — это топология , которая может быть определена на каждом множестве. $X.$ Он имеет в точности пустое множество и все коконечные подмножества $X$ как открытые множества. Как следствие, в коконитной топологии единственными замкнутыми подмножествами являются конечные множества или все $X.$ Символически топологию записывают как ${\mathcal {T}}=\{A\subseteq X:A=\varnothing {\mbox{ or }}X\setminus A{\mbox{ is finite}}\}.$

Эта топология естественным образом возникает в контексте топологии Зарисского . Поскольку многочлены от одной переменной над полем $K$ равны нулю на конечных множествах или все $K,$ топология Зариского на $K$ (рассматриваемая как аффинная линия ) представляет собой коконечную топологию. То же самое верно для любой неприводимой алгебраической кривой ; это неверно, например, для $XY=0$ в самолете.

Характеристики

Подпространства: каждая топология подпространства коконечной топологии также является коконечной топологией.
Компактность: поскольку каждое открытое множество содержит все точки множества, кроме конечного числа. $X,$ пространство $X$ компактен компактен и секвенциально .
Разделение: Коконечная топология — это самая грубая топология, удовлетворяющая T ₁ аксиоме ; то есть это наименьшая топология, в которой каждое одноэлементное множество замкнуто. Фактически, произвольная топология на $X$ удовлетворяет аксиоме T ₁ тогда и только тогда, когда оно содержит коконечную топологию. Если $X$ конечна, то коконечная топология — это просто дискретная топология . Если $X$ не является конечным, то эта топология не является Хаусдорфовой (T ₂ ) , регулярной или нормальной , поскольку никакие два непустых открытых множества не являются непересекающимися (т. е. гиперсвязными ).

Двунаправленная коконечная топология

Двунаправленная коконечная топология — это коконечная топология, в которой каждая точка удвоена; то есть это топологическое произведение коконитной топологии с недискретной топологией на двухэлементном множестве. Это не T0 _{, поскольку} или T1 _{топологически} точки каждого дублета неразличимы . Однако это R ₀ , поскольку топологически различимые точки разделены . Пространство компактно как произведение двух компактов; альтернативно, оно компактно, поскольку каждое непустое открытое множество содержит все точки, кроме конечного числа.

В качестве примера счетной двуточечной коконечной топологии множество $\mathbb {Z}$ целых чисел можно задать такую топологию, что каждое четное число $2n$ от топологически неотличим следующего нечетного числа $2n+1$ . Замкнутые множества представляют собой объединения конечного числа пар. $2n,2n+1,$ или весь комплект. Открытые множества являются дополнениями к закрытым множествам; а именно, каждое открытое множество состоит только из конечного числа пар $2n,2n+1,$ или является пустым множеством.

Другие примеры

Топология продукта

Топология произведения на произведении топологических пространств $\prod X_{i}$ имеет основу $\prod U_{i}$ где $U_{i}\subseteq X_{i}$ открыт, и коконечно много $U_{i}=X_{i}.$