Идеал (теория порядка)

В математической теории порядка идеал — это особое подмножество частично упорядоченного множества (ЧУУ). Хотя этот термин исторически произошел от понятия кольцевого идеала абстрактной алгебры , впоследствии он был обобщен до другого понятия. Идеалы имеют большое значение для многих построений теории порядка и решетки .

Определения

Подмножество I частично упорядоченного множества $(P,\leq )$ является идеалом , если выполняются следующие условия:

1. Я ​ непустой ,
2. для каждого x в I и y в P , y ≤ x подразумевает, что y находится в I ( I — нижнее множество ),
3. для каждого x , y в I существует некоторый элемент z в I , такой что x ⩽ z и y ⩽ z ( I — направленное множество ).

Хотя это наиболее общий способ определения идеала для произвольных ЧУМ, первоначально он был определен только для решеток . В этом случае можно дать следующее эквивалентное определение:подмножество I решетки $(P,\leq )$ является идеалом тогда и только тогда, когда это нижнее множество, замкнутое относительно конечных соединений ( супремы ); то есть он непуст и для всех x , y в I элемент $x\vee y$ P находится в I. также

Более слабое понятие идеала порядка определяется как подмножество частично упорядоченного множества P , которое удовлетворяет вышеуказанным условиям 1 и 2. Другими словами, идеал порядка — это просто нижнее множество . Точно так же идеал можно определить как «направленное нижнее множество».

Двойственное заменой понятие идеала, т. е. понятие, полученное перестановкой всех ≤ и $\vee$ с $\wedge ,$ это фильтр .

Идеалы Фринка , псевдоидеалы и псевдоидеалы Дойла — это различные обобщения понятия решеточного идеала.

Идеал или фильтр называется собственным, он не равен всему множеству P. если

Наименьший идеал, содержащий данный элемент p, — это главный идеал и p называется Главный элемент идеала в этой ситуации. Главный идеал $\downarrow p$ таким образом, для принципала p задается формулой ↓ p = { x ∈ P | Икс ≤ п } .

Терминологическая путаница

Приведенные выше определения «идеала» и «идеала порядка» являются стандартными. но есть некоторая путаница в терминологии. Иногда слова и определения, такие как «идеал», «идеал порядка», « идеал Фринка » или «идеал частичного порядка», означают друг друга.

Главные идеалы

Важный частный случай идеала составляют те идеалы, теоретико-множественными дополнениями которых являются фильтры, т. е. идеалы в обратном порядке. Такие идеалы называются простой идеал s . Также обратите внимание: поскольку мы требуем, чтобы идеалы и фильтры были непустыми, каждый простой идеал обязательно является собственным. Для решеток простые идеалы можно охарактеризовать следующим образом:

Подмножество I решетки $(P,\leq )$ является простым идеалом тогда и только тогда, когда

1. I — собственный идеал P , и
2. для всех элементов x и y из P , $x\wedge y$ в I подразумевает, x ∈ I или y ∈ I. что

Легко проверить, что это действительно эквивалентно утверждению, что $P\setminus I$ является фильтром (который тогда также является простым в двойственном смысле).

Для полной решетки дальнейшее понятие совершенно первичный идеал имеет смысл.Он определяется как собственный идеал I с дополнительным свойством: всякий раз, когда точка пересечения ( грань ) некоторого произвольного множества A находится в I , некоторый элемент A также находится в I. нижняя Так что это всего лишь конкретный первичный идеал, который расширяет вышеуказанные условия до бесконечности.

Существование простых идеалов, как правило, не очевидно, и часто удовлетворительное количество простых идеалов не может быть получено в рамках ZF ( теория множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора ).Этот вопрос обсуждается в различных теоремах о простых идеалах , которые необходимы для многих приложений, требующих простых идеалов.

Максимальные идеалы

Идеальное Я – это максимальный идеал , если он собственный и не существует собственного идеала J , являющегося строгим надмножеством I . Аналогично, фильтр F является максимальным, если он правильный и не существует правильного фильтра, являющегося строгим надмножеством.

Когда ЧУМ является дистрибутивной решеткой , максимальные идеалы и фильтры обязательно являются простыми, а обратное утверждение в целом неверно.

Максимальные фильтры иногда называют ультрафильтрами , но эта терминология часто используется для булевых алгебр, где максимальный фильтр (идеал) — это фильтр (идеал), который содержит ровно один из элементов { a , ¬ a } для каждого элемента a из Булева алгебра. В булевых алгебрах термины «простой идеал» и «максимальный идеал» совпадают, как и термины «простой фильтр» и «максимальный фильтр» .

Есть еще одно интересное понятие максимальности идеалов: рассмотрим идеал I и фильтр F такие, что I пересекается не с F . Нас интересует идеал M , максимальный среди всех идеалов, содержащих I и не пересекающихся с F . В случае дистрибутивных решеток такое M всегда является простым идеалом. Доказательство этого утверждения следует.

Доказательство

Предположим, что идеал M максимален относительно дизъюнктности с фильтром F . Предположим от противного, что M не является простым, т. е. существует пара элементов a и b такая, что a ∧ b в M , но ни a, ни b не находятся в M . Рассмотрим случай, когда для всех в M m m ∨ a не принадлежит F . Можно построить идеал N, замыкая вниз множество всех бинарных соединений этой формы, т.е. N = { x | Икс ≤ m ∨ a для некоторого m ∈ M } . Легко проверить, что N действительно является идеалом, не пересекающимся с F, который строго больше M . Но это противоречит максимальности M и, следовательно, предположению, что M не является простым.

В другом случае предположим, что существует некоторый m в M такой, что m ∨ a в F . Теперь, если какой-либо элемент n в M таков, что n ∨ b находится в F , можно обнаружить, что m ∨ n ) ∨ b и ( m ∨ n ) ∨ a оба находятся в F. ( Но тогда их встреча находится в F и, по дистрибутивности, ( m ∨ n ) ∨ ( a ∧ b ) находится в F. тоже С другой стороны, это конечное объединение элементов M явно находится в M , так что предполагаемое существование n противоречит непересекаемости двух множеств. Следовательно, все элементы n из M имеют соединение с b которого нет в F. , Следовательно, можно применить приведенную выше конструкцию с b вместо a, чтобы получить идеал, который строго больше M, но при этом не пересекается с F . Это завершает доказательство.

Однако, вообще говоря, неясно, существует ли какой-либо идеал M , максимальный в этом смысле. Тем не менее, если мы примем аксиому выбора в нашей теории множеств, то можно показать существование M для каждой непересекающейся пары фильтр-идеал. В частном случае, когда рассматриваемый порядок является булевой алгеброй , эта теорема называется булевой теоремой о простых идеалах . Она строго слабее, чем аксиома выбора, и оказывается, что для многих теоретико-порядковых приложений идеалов больше ничего не требуется.

Приложения

Построение идеалов и фильтров — важный инструмент во многих приложениях теории порядка.

• В теореме Стоуна о представлении булевых алгебр максимальные идеалы (или, что то же самое, через карту отрицания, ультрафильтры) используются для получения набора точек топологического пространства , чьи открытые множества изоморфны открыто - исходной булевой алгебре.
• Теория порядка знает множество процедур завершения , позволяющих превратить ЧПУ в ЧУ с дополнительными свойствами полноты . Например, идеальное пополнение данного частичного порядка P — это набор всех идеалов P , упорядоченных путем включения подмножества. Эта конструкция дает свободный dcpo, генерируемый P . Идеал является главным тогда и только тогда, когда он компактен в идеальном пополнении, поэтому исходное ЧУ может быть восстановлено как подмножество, состоящее из компактных элементов. Более того, любое алгебраическое dcpo можно реконструировать как идеальное пополнение своего множества компактных элементов.

История

Идеалы были впервые введены Маршаллом Х. Стоуном для булевых алгебр . где название произошло от кольцевых идеалов абстрактной алгебры. Он принял эту терминологию, потому что, используя изоморфизм категорий булевых алгебр и булевых колец , эти два понятия действительно совпадают.

Обобщение на любые частично-множества было сделано Фринк .

См. также

• Фильтр (математика) – в математике особое подмножество частично упорядоченного множества.
• Идеал (теория колец) - аддитивная подгруппа математического кольца, допускающая умножение.
• Идеал (теория множеств) - непустое семейство множеств, замкнутое относительно конечных объединений и подмножеств.
• Полугрупповой идеал
• Булева теорема о простых идеалах . Идеалы в булевой алгебре можно расширить до простых идеалов.

Ссылки

• Беррис, Стэнли Н.; Санкаппанавар, Ханамантагуда П. (1981). Курс универсальной алгебры . Спрингер-Верлаг. ISBN  3-540-90578-2 .
• Дэйви, Брайан А.; Пристли, Хилари Энн (2002). Введение в решетки и порядок (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-78451-4 .
• Тейлор, Пол (1999), Практические основы математики , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 59, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, ISBN  0-521-63107-6 , МР   1694820
• француз Зак; Харт, Джеймс (2020), Введение в теорию порядка , AMS

Об истории

• Стоун, М.Х. (1934), «Бульевы алгебры и их применение к топологии», Proc. Натл. акад. наук. США , 20 (3): 197–202, Bibcode : 1934PNAS...20..197S , doi : 10.1073/pnas.20.3.197 , PMC   1076376 , PMID   16587875
• Стоун, М.Х. (1935), «Подведение теории булевых алгебр к теории колец», Proc. Натл. акад. наук. США , 21 (2): 103–105, Bibcode : 1935PNAS...21..103S , doi : 10.1073/pnas.21.2.103 , PMC   1076539 , PMID   16587931
• Фринк, Оррин (1954), «Идеалы в частично упорядоченных множествах», Am. Математика. Пн. , 61 (4): 223–234, doi : 10.1080/00029890.1954.11988449