Топология делителя

В математике, а точнее в общей топологии , топология дивизора — это определенная топология на множестве. $X=\{2,3,4,...\}$ положительных целых чисел, больших или равных двум. Топология делителей — это частично упорядоченная топология для частичного порядка отношения делимости целых чисел на $X$ .

Строительство

Наборы $S_{n}=\{x\in X:x\mathop {|} n\}$ для $n=2,3,...$ составляют основу дивизора топологии ^[1] на $X$ , где обозначение $x\mathop {|} n$ означает $x$ является делителем $n$ .

Открытые множества в этой топологии являются нижними множествами для частичного порядка, определяемого формулой $x\leq y$ если $x\mathop {|} y$ . Замкнутые множества являются верхними множествами для этого частичного порядка.

Характеристики

Все приведенные ниже свойства доказаны в ^[1] или следовать непосредственно из определений.

Закрытие точки $x\in X$ представляет собой набор всех кратных $x$ .
Учитывая точку $x\in X$ , существует наименьшая окрестность $x$ , а именно базовое открытое множество $S_{x}$ делителей $x$ . Таким образом, топология дивизора является топологией Александрова .
$X$ является T0 пространством . Действительно, учитывая два момента $x$ и $y$ с $x<y$ , открытый район $S_{x}$ из $x$ не содержит $y$ .
$X$ не является T1 _{, поскольку ни} пространством одна точка не является замкнутой. Следовательно, $X$ это не Хаусдорф .
точки Отдельные $X$ являются простыми числами .
Множество простых плотно чисел $X$ . Фактически, каждое плотное открытое множество должно включать в себя все простые числа, и, следовательно, $X$ является пространством Бэра .
$X$ является секундно-счетным .
$X$ является ультрасвязным , поскольку замыкания одиночных элементов $\{x\}$ и $\{y\}$ содержать продукт $xy$ как общий элемент.
Следовательно $X$ это обычное пространство . Но $X$ это не совсем нормально . Например, синглтоны $\{6\}$ и $\{4\}$ являются разделенными множествами (6 не кратно 4, а 4 не кратно 6), но не имеют непересекающихся открытых окрестностей, поскольку их наименьшие соответствующие открытые окрестности нетривиально встречаются в $S_{6}\cap S_{4}=S_{2}$ .
$X$ не является регулярным пространством , как базовая окрестность $S_{x}$ конечно, но замыкание точки бесконечно.
$X$ подключено подключено , локально подключено , по пути и подключено по локальному пути .
$X$ является разбросанным пространством , поскольку каждое непустое подмножество имеет первый элемент, который является изолированным элементом множества.
Компактные подмножества $X$ являются конечными подмножествами, поскольку любое множество $A\subseteq X$ охватывается совокупностью всех основных открытых наборов $S_{n}$ , каждый из которых конечен, и если $A$ покрывается лишь конечным числом из них, оно само должно быть конечным. В частности, $X$ не компактен .
$X$ в локально компактна том смысле, что каждая точка имеет компактную окрестность ( $S_{x}$ конечно). Но точки не имеют замкнутых компактных окрестностей ( $X$ не является локально относительно компактным .)