Jump to content

Обычное пространство

Аксиомы разделения
в топологических пространствах
Колмогорова Классификация
Т 0  (Kolmogorov)
Т 1  (Фреше)
Т 2  (Хаусдорф)
T 2 ½ (Урысон)
полностью Т 2  (полностью Хаусдорф)
TТ3  (обычный Хаусдорф)
T (Тихонов)
Т 4  (обычно Хаусдорф)
TТ5  (совершенно нормально
Хаусдорф)
TТ6  (совершенно нормально
Хаусдорф)

В топологии и смежных областях математики топологическое пространство X называется регулярным пространством , если каждое замкнутое подмножество C X имеют и точка p, не содержащаяся в C, непересекающиеся открытые окрестности . [1] Таким образом, p и C могут быть разделены окрестностями. Это условие известно как Аксиома Т 3 . Термин « Т3 » обычно пространство означает «регулярное хаусдорфово пространство ». Эти условия являются примерами аксиом разделения .

Определения

[ редактировать ]
Точка x , представленная точкой слева на рисунке, и замкнутое множество F , представленное замкнутым диском справа, разделены своими окрестностями U и V , представленными более крупными открытыми дисками . У точки x достаточно места для перемещения по открытому диску U , а у закрытого диска F достаточно места для перемещения по открытому диску V , но U и V не касаются друг друга.

Топологическое пространство X является регулярным пространством , если для любого замкнутого множества F и любой точки x , не принадлежащей F , существуют окрестность U x , и окрестность V точки F которые не пересекаются . Короче говоря, должна быть возможность разделить x и F непересекающимися окрестностями.

А Т 3 пробел или регулярное хаусдорфово пространство — топологическое пространство, которое одновременно является регулярным и хаусдорфовым пространством . (Хаусдорфово пространство или пространство T 2 — это топологическое пространство, в котором любые две различные точки разделены окрестностями.) Оказывается, пространство является T 3 тогда и только тогда, когда оно одновременно регулярно и T 0 . (AT 0 или пространство Колмогорова — это топологическое пространство, в котором любые две различные точки топологически различимы , т. е. для каждой пары различных точек по крайней мере одна из них имеет открытую окрестность, не содержащую другую.) Действительно, если пространство Хаусдорф, то это T 0 , и каждое регулярное пространство T 0 является хаусдорфовым: учитывая две различные точки, по крайней мере одна из них не попадает в замыкание другой, поэтому (по регулярности) существуют непересекающиеся окрестности, отделяющие одну точку от (замыкания о) другой.

Хотя представленные здесь определения «обычного» и «Т 3 » не являются редкостью, в литературе существуют значительные различия: некоторые авторы меняют определения «обычного» и «Т 3 », как они используются здесь, или используют оба термина. взаимозаменяемо. В этой статье свободно используется термин «регулярный», но обычно вместо менее точного «T 3 » используется однозначное слово «регулярный Хаусдорф». Подробнее об этом вопросе см. в разделе « История аксиом разделения» .

А локально регулярное пространство — это топологическое пространство, в котором каждая точка имеет открытую регулярную окрестность. Всякое регулярное пространство локально регулярно, но обратное неверно. Классическим примером локально регулярного пространства, которое не является регулярным, является линия с жучьими глазами .

Отношения с другими аксиомами разделения

[ редактировать ]

Регулярное пространство обязательно также предрегулярно , т. е. любые две топологически различимые точки могут быть разделены окрестностями.Поскольку хаусдорфово пространство — это то же самое, что и предрегулярное T 0 пространство , регулярное пространство, которое также является T 0, должно быть хаусдорфовым (и, следовательно, T 3 ).Фактически, регулярное Хаусдорфово пространство удовлетворяет несколько более сильному условию T .(Однако такое пространство не обязательно должно быть полностью хаусдорфовым .)Таким образом, в определении Т 3 могут упоминаться Т 0 , Т 1 или Т вместо Т 2 (хаусдорфовость) ; все они эквивалентны в контексте регулярных пространств.

Говоря более теоретически, условия регулярности и Т 3 -ности связаны факторами Колмогорова .Пространство регулярно тогда и только тогда, когда его фактор Колмогорова равен T 3 ; и, как уже упоминалось, пространство является T 3 тогда и только тогда, когда оно одновременно регулярное и T 0 .Таким образом, обычное пространство, встречающееся на практике, обычно можно принять за T 3 , заменив это пространство его фактором Колмогорова.

Существует множество результатов для топологических пространств, которые верны как для регулярных, так и для хаусдорфовых пространств.В большинстве случаев эти результаты справедливы для всех предрегулярных пространств; они были перечислены отдельно для регулярных и хаусдорфовых пространств, поскольку идея предрегулярных пространств возникла позже.С другой стороны, те результаты, которые действительно касаются регулярности, обычно не применимы и к нерегулярным хаусдорфовым пространствам.

Есть много ситуаций, когда другое условие топологических пространств (например, нормальность , псевдонормальность , паракомпактность или локальная компактность ) будет подразумевать регулярность, если выполняется какая-то более слабая аксиома разделения, такая как предрегулярность. [2] Такие условия часто бывают двух версий: обычная версия и версия Хаусдорфа.Хотя хаусдорфово пространство, как правило, не является регулярным, хаусдорфово пространство, которое также (скажем) локально компактно, будет регулярным, поскольку любое хаусдорфово пространство предрегулярно.Таким образом, с определенной точки зрения, регулярность здесь не является проблемой, и вместо этого мы могли бы наложить более слабое условие, чтобы получить тот же результат.Однако определения обычно все же формулируются с точки зрения регулярности, поскольку это условие более известно, чем любое более слабое.

Большинство топологических пространств, изучаемых в математическом анализе, являются регулярными; на самом деле они обычно совершенно регулярны , что является более сильным условием.Обычные пробелы также следует противопоставлять обычным пробелам .

Примеры и непримеры

[ редактировать ]

Нульмерное пространство относительно малой индуктивной размерности имеет базу, состоящую из открытозамкнутых множеств .Каждое такое пространство регулярно.

Как описано выше, любое вполне регулярное пространство является регулярным, и любое пространство T 0 , которое не является хаусдорфовым (и, следовательно, не предрегулярным), не может быть регулярным.Большинство примеров регулярных и нерегулярных пространств, изучаемых в математике, можно найти в этих двух статьях.С другой стороны, пространства, которые являются регулярными, но не вполне регулярными или предрегулярными, но не регулярными, обычно строятся только для того, чтобы предоставить контрпримеры к гипотезам, показывая границы возможных теорем .Конечно, можно легко найти регулярные пространства, которые не являются T 0 и, следовательно, не являются хаусдорфовыми, например, недискретное пространство , но эти примеры дают больше понимания T 0, аксиомы чем регулярности. Примером правильного пространства, которое не является полностью правильным, является тихоновский штопор .

Наиболее интересные пространства в математике, которые являются регулярными, также удовлетворяют некоторым более сильным условиям.Таким образом, регулярные пространства обычно изучаются, чтобы найти свойства и теоремы, подобные приведенным ниже, которые фактически применяются к полностью регулярным пространствам, обычно в анализе.

Существуют пространства Хаусдорфа, которые не являются регулярными. Примером может служить K-топология на множестве действительных чисел. В более общем смысле, если является фиксированным незамкнутым подмножеством с пустой внутренностью относительно обычной евклидовой топологии, можно построить более тонкую топологию на взяв за основу коллекцию всех наборов и для открытый в обычной топологии. Эта топология будет хаусдорфовой, но не регулярной.

Элементарные свойства

[ редактировать ]

Предположим, что X — регулярное пространство.Тогда для любой точки x и окрестности G точки x существует замкнутая окрестность точки x , которая является подмножеством G E .Проще говоря, замкнутые окрестности точки x образуют локальную базу в точке x .Фактически это свойство характеризует регулярные пространства; если замкнутые окрестности каждой точки топологического пространства образуют в этой точке локальную базу, то пространство должно быть регулярным.

Взяв внутренности этих замкнутых окрестностей, мы видим, что регулярные открытые множества образуют основу для открытых множеств регулярного пространства X .Это свойство на самом деле слабее регулярности; Топологическое пространство, регулярные открытые множества которого образуют базу, является полурегулярным .

  1. ^ Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN  0-13-181629-2 .
  2. ^ «общая топология - из предрегулярной и локально компактной следует регулярная» . Математический обмен стеками .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 73ead8c60d78a753918f07d824df2918__1722651540
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/73/18/73ead8c60d78a753918f07d824df2918.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Regular space - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)