Площадь Аренса

В математике квадрат Аренса — топологическое пространство , названное в честь Рихарда Фридриха Аренса . Его роль в основном заключается в том, чтобы служить контрпримером.

Определение

Площадь Аренса – топологическое пространство. $(X,\tau ),$ где

X=((0,1)^{2}\cap \mathbb {Q} ^{2})\cup \{(0,0)\}\cup \{(1,0)\}\cup \{(1/2,r{\sqrt {2}})|\ r\in \mathbb {Q} ,\ 0<r{\sqrt {2}}<1\}

Топология $\tau$ определяется по следующему принципу . Каждая точка $(0,1)^{2}\cap \mathbb {Q} ^{2}$ дан локальный базис относительно открытых множеств, унаследованный от евклидовой топологии на $(0,1)^{2}$ . Остальные пункты $X$ даны местные базы

$U_{n}(0,0)=\{(0,0)\}\cup \{(x,y)|\ 0<x<1/4,\ 0<y<1/n\}$
$U_{n}(1,0)=\{(1,0)\}\cup \{(x,y)|\ 3/4<x<1,\ 0<y<1/n\}$
$U_{n}(1/2,r{\sqrt {2}})=\{(x,y)|1/4<x<3/4,\ |y-r{\sqrt {2}}|<1/n\}$

Характеристики

Пространство $(X,\tau )$ является:

T _2½ , поскольку ни одна из точек $(0,1)^{2}\cap \mathbb {Q} ^{2}$ , ни $(0,0)$ , ни $(0,1)$ может иметь ту же вторую координату, что и точка вида $(1/2,r{\sqrt {2}})$ , для $r\in \mathbb {Q}$ .
не T ₃ или T _3½ , поскольку для $(0,0)\in U_{n}(0,0)$ открытого набора нет $U$ такой, что $(0,0)\in U\subset {\overline {U}}\subset U_{n}(0,0)$ с ${\overline {U}}$ должна включать точку, первая координата которой равна $1/4$ , но такой точки не существует в $U_{n}(0,0)$ для любого $n\in \mathbb {N}$ .
не Урысон , поскольку существование непрерывной функции $f:X\to [0,1]$ такой, что $f(0,0)=0$ и $f(1,0)=1$ следует, что прообразы открытых множеств $[0,1/4)$ и $(3/4,1]$ из $[0,1]$ с евклидовой топологией, должен был бы быть открытым. Следовательно, эти прообразы должны будут содержать $U_{n}(0,0)$ и $U_{m}(1,0)$ для некоторых $m,n\in \mathbb {N}$ . Тогда, если $r{\sqrt {2}}<\min\{1/n,1/m\}$ , могло бы случиться, что $f(1/2,r{\sqrt {2}})$ не в $[0,1/4)\cap (3/4,1]=\emptyset$ . Предполагая, что $f(1/2,r{\sqrt {2}})\notin [0,1/4)$ , то существует открытый интервал $U\ni f(1/2,r{\sqrt {2}})$ такой, что ${\overline {U}}\cap [0,1/4)=\emptyset$ . Но тогда прообразы ${\overline {U}}$ и ${\overline {[0,1/4)}}$ под $f$ были бы непересекающимися закрытыми множествами, содержащими открытые множества, содержащие $(1/2,r{\sqrt {2}})$ и $(0,0)$ , соответственно. С $r{\sqrt {2}}<\min\{1/n,1/m\}$ , эти закрытые множества, содержащие $U_{n}(0,0)$ и $U_{k}(1/2,r{\sqrt {2}})$ для некоторых $k\in \mathbb {N}$ не может быть непересекающимся. Аналогичное противоречие возникает, если предположить $f(1/2,r{\sqrt {2}})\notin (3/4,1]$ .
полурегулярный , поскольку базис окрестности, определяющей топологию, состоит из регулярных открытых множеств.
второй счетный , так как $X$ счетна и каждая точка имеет счетный локальный базис. С другой стороны $(X,\tau )$ не является ни слабо счетно компактным , ни локально компактным .
полностью несвязен , но не полностью разделен , поскольку все его компоненты связности и квазикомпоненты представляют собой отдельные точки, за исключением множества $\{(0,0),(1,0)\}$ которая является двухточечной квазикомпонентой.
не разбросано (каждое непустое подмножество $A$ из $X$ содержит точку, изолированную в $A$ ), поскольку каждый базисный набор плотен сам по себе .
не нульмерный , так как $(0,0)$ не имеет локального базиса, состоящего из открытых и закрытых множеств. Это потому, что для $x\in [0,1]$ достаточно маленький, точки $(x,1/4)$ будут предельными точками, а не внутренними точками каждого базисного набора.

Ссылки

Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах-младший, Контрпримеры в топологии . Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1978. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Дуврское издание).