Александрофф планка

Схема планки Александрова

Планка Александрова в топологии , области математики , представляет собой топологическое пространство , служащее поучительным примером.

Определение

Построение планки Александрова начинается с определения топологического пространства. $(X,\tau )$ быть произведением декартовым $[0,\omega _{1}]$ и $[-1,1],$ где $\omega _{1}$ является первым неисчисляемым порядковым номером , и оба несут интервальную топологию . Топология $\tau$ расширяется до топологии $\sigma$ добавив наборы формы $$U(\alpha ,n)=\{p\}\cup (\alpha ,\omega _{1}]\times (0,1/n)$$где $p=(\omega _{1},0)\in X.$

Планка Александрова – это топологическое пространство. $(X,\sigma ).$

Его называют планкой, потому что он построен из подпространства произведения двух пространств.

Характеристики

Пространство $(X,\sigma )$ имеет следующие свойства:

1. Это Урысон , поскольку $(X,\tau )$ является регулярным . Пространство $(X,\sigma )$ не является регулярным, поскольку $C=\{(\alpha ,0):\alpha <\omega _{1}\}$ является замкнутым множеством, не содержащим $(\omega _{1},0),$ в то время как каждый район $C$ пересекает все окрестности $(\omega _{1},0).$
2. Он полуправильный , поскольку каждый базисный прямоугольник в топологии $\tau$ является регулярным открытым множеством, как и множества $U(\alpha ,n)$ определенный выше, с помощью которого топология была расширена.
3. Оно не счетно компактно , так как множество $\{(\omega _{1},-1/n):n=2,3,\dots \}$ не имеет верхней предельной точки .
4. Он не является метакомпактным , поскольку если $\{V_{\alpha }\}$ является покрытием порядкового пространства $[0,\omega _{1})$ с неточечным уточнением, то накрытие $\{U_{\alpha }\}$ из $X$ определяется $U_{1}=\{(0,\omega _{1})\}\cup ([0,\omega _{1}]\times (0,1]),$ $U_{2}=[0,\omega _{1}]\times [-1,0),$ и $U_{\alpha }=V_{\alpha }\times [-1,1]$ не имеет точечного уточнения.

См. также

• Список топологий - Список конкретных топологий и топологических пространств.

Ссылки

• Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах-младший, Контрпримеры в топологии . Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1978. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 1995. ISBN   0-486-68735-X (Дуврское издание).
• С. Уотсон, Построение топологических пространств . Недавний прогресс в общей топологии, Elsevier, 1992.