Топология двойного происхождения

Не путать с линией с двумя началами .

В математике, а точнее в общей топологии , топология с двойным началом является примером топологии , заданной плоскости R. ² с добавлением дополнительной точки, скажем, 0*. В этом случае топология двойного начала координат дает топологию на множестве X = R ² ∐ {0*} , где ∐ обозначает непересекающееся объединение .

Строительство

Учитывая точку x, принадлежащую X , такую, что x ≠ 0 и x ≠ 0* , окрестности x - это те, которые заданы стандартной метрической топологией на R. ² −{0}. Определим счетный базис окрестностей точки 0 и дополнительной точки 0*. Для точки 0 базис индексом с n определяется как:

$\ N(0,n)=\{(x,y)\in {\mathbf {R} }^{2}:x^{2}+y^{2}<1/n^{2},\ y>0\}\cup \{0\}.$

Аналогичным образом базис окрестностей точки 0* определяется как:

$N(0^{*},n)=\{(x,y)\in {\mathbf {R} }^{2}:x^{2}+y^{2}<1/n^{2},\ y<0\}\cup \{0^{*}\}.$

Характеристики

Пространство Р ² ∐ {0* }, наряду с топологией двойного начала координат, является примером хаусдорфова пространства , хотя и не вполне хаусдорфовым . С точки зрения компактности пространство R ² ∐ {0* } вместе с топологией двойного начала координат не может быть ни компактным , ни паракомпактным , ни локально компактным , однако X является вторым счетным . Наконец, это пример дугосвязного пространства.