Компьютерный эксперимент

Компьютерный эксперимент или симуляционный эксперимент — это эксперимент, используемый для изучения компьютерного моделирования, также называемого системой in silico . В эту область входят вычислительная физика , вычислительная химия , вычислительная биология и другие подобные дисциплины.

Предыстория [ править ]

Компьютерное моделирование создано для имитации физической системы. Поскольку они предназначены для детального воспроизведения некоторых аспектов системы, они часто не дают аналитического решения. такие методы, как моделирование дискретных событий или решатели методом конечных элементов Поэтому используются . Компьютерная модель используется для того, чтобы сделать выводы о системе, которую она воспроизводит. Например, часто используются климатические модели , поскольку эксперименты на объекте размером с Землю невозможны.

Цели [ править ]

Компьютерные эксперименты использовались со многими целями. Некоторые из них включают в себя:

Количественная оценка неопределенности : охарактеризуйте неопределенность, присутствующую в компьютерном моделировании, возникающую из-за неизвестных во время построения компьютерного моделирования.
Обратные задачи : откройте основные свойства системы на основе физических данных.
Коррекция смещения: используйте физические данные для исправления смещения в моделировании.
Ассимиляция данных : объединение нескольких симуляций и физических источников данных в полную прогнозирующую модель.
Проектирование систем : найдите входные данные, которые приводят к оптимальным показателям производительности системы.

Компьютерное имитационное моделирование [ править ]

При моделировании компьютерных экспериментов обычно используется байесовский подход. Байесовская статистика — это интерпретация области статистики , в которой все данные об истинном состоянии мира явно выражены в форме вероятностей . В сфере компьютерных экспериментов байесовская интерпретация подразумевает, что мы должны сформировать априорное распределение , отражающее наше априорное представление о структуре компьютерной модели. Использование этой философии для компьютерных экспериментов началось в 1980-х годах и хорошо резюмировано Саксом и др. (1989) [1] . Хотя байесовский подход широко используется, частотные недавно обсуждались подходы [2] .

Основная идея этой структуры заключается в моделировании компьютерного моделирования как неизвестной функции набора входных данных. Компьютерное моделирование реализуется как часть компьютерного кода, который можно оценить для получения набора выходных данных. Примерами входных данных для такого моделирования являются коэффициенты базовой модели, начальные условия и воздействующие функции . Естественно рассматривать моделирование как детерминированную функцию, которая отображает эти входные данные в набор выходных данных . Учитывая такой подход к нашему симулятору, принято называть набор входных данных $x$ , само компьютерное моделирование как $f$ , и полученный результат как $f(x)$ . Оба $x$ и $f(x)$ являются векторными величинами и могут представлять собой очень большие наборы значений, часто индексированные по пространству или по времени, или по пространству и времени.

Хотя $f(\cdot )$ в принципе известно, на практике это не так. Многие симуляторы содержат десятки тысяч строк высокоуровневого компьютерного кода, недоступного интуиции. Для некоторых симуляций, таких как модели климата, оценка результатов для одного набора входных данных может потребовать миллионы компьютерных часов [3] .

Гауссов процесс до [ править ]

Типичной моделью вывода компьютерного кода является гауссовский процесс. Для простоты обозначений предположим $f(x)$ является скаляром. Благодаря байесовской модели мы фиксируем наше убеждение в том, что функция $f$ следует гауссовскому процессу , $f\sim \operatorname {GP} (m(\cdot ),C(\cdot ,\cdot )),$ где $m$ является средней функцией и $C$ — ковариационная функция. Популярные средние функции представляют собой полиномы низкого порядка, а популярной ковариационной функцией является ковариация Матерна , которая включает в себя как экспоненту ( $\nu =1/2$ ) и гауссовские ковариации (как $\nu \rightarrow \infty$ ).

План компьютерных экспериментов [ править ]

План компьютерных экспериментов существенно отличается от планирования экспериментов для параметрических моделей. Поскольку априорный гауссовский процесс имеет бесконечномерное представление, концепции критериев A и D (см. Оптимальный дизайн ), которые направлены на уменьшение ошибки в параметрах, не могут быть использованы. Репликация также была бы расточительна в тех случаях, когда компьютерное моделирование не содержит ошибок. Критерии, которые используются для определения хорошего плана эксперимента, включают интегральную среднеквадратичную ошибку прогноза [4] и критерии, основанные на расстоянии [5] .

Популярные стратегии проектирования включают выборку в латинском гиперкубе и последовательности с низким расхождением .

с огромными размерами выборки Проблемы

В отличие от физических экспериментов, компьютерные эксперименты обычно имеют тысячи различных входных комбинаций. Поскольку стандартный вывод требует матричного обращения квадратной матрицы размера количества выборок ( $n$ ), стоимость растет ${\mathcal {O}}(n^{3})$ . Матричная инверсия больших плотных матриц также может вызвать численные неточности. В настоящее время эта проблема решается с помощью методов жадного дерева решений, позволяющих проводить эффективные вычисления для неограниченной размерности и размера выборки (патент WO2013055257A1) , или ее можно избежать, используя методы аппроксимации, например [6] .

См. также [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Сантнер, Томас (2003). Планирование и анализ компьютерных экспериментов . Берлин: Шпрингер. ISBN 0-387-95420-1 .

Фер, Йорг; Хейланд, Ян; Химпе, Кристиан; Саак, Йенс (2016). «Лучшие практики тиражируемости, воспроизводимости и возможности повторного использования компьютерных экспериментов на примере программного обеспечения для сокращения моделей». АИМС Математика . 1 (3): 261–281. arXiv : 1607.01191 . дои : 10.3934/Math.2016.3.261 . S2CID 14715031 .