Метод дискретных элементов

Метод дискретных элементов ( DEM ), также называемый методом отдельных элементов , представляет собой любой из семейства численных методов расчета движения и воздействия большого количества мелких частиц. Хотя DEM очень тесно связан с молекулярной динамикой , этот метод обычно отличается включением вращательных степеней свободы , а также контакта с состоянием, деформации частиц и часто сложной геометрии (включая многогранники). Благодаря достижениям в области вычислительной мощности и численных алгоритмов сортировки ближайших соседей стало возможным численное моделирование миллионов частиц на одном процессоре. Сегодня DEM получает широкое признание как эффективный метод решения инженерных задач в сыпучих и неоднородных материалах, особенно в сыпучих потоках, механике порошков, механике льда и горных пород. DEM был расширен до расширенного метода дискретных элементов, учитывающего передачу тепла , ^[1] химическая реакция ^[2] и связь с CFD ^[3] и ФЭМ ^[4] во внимание.

Методы дискретных элементов требуют относительно больших вычислительных ресурсов, что ограничивает либо длину моделирования, либо количество частиц. Некоторые программы DEM, как и программы молекулярной динамики, используют возможности параллельной обработки (совместно используемые или распределенные системы) для увеличения количества частиц или длины моделирования. Альтернативой рассмотрению всех частиц по отдельности является усреднение физики по многим частицам и, таким образом, рассмотрение материала как континуума . В случае твердоподобного гранулированного поведения, как в механике грунтов , непрерывный подход обычно рассматривает материал как упругий или упругопластический и моделирует его с помощью метода конечных элементов или бессеточного метода . В случае жидкоподобного или газообразного гранулированного потока непрерывный подход может рассматривать материал как жидкость и использовать вычислительную гидродинамику . Однако недостатки гомогенизации физики гранулярного масштаба хорошо документированы, и их следует тщательно рассмотреть, прежде чем пытаться использовать континуальный подход.

Семья ДЕМ

Различные ветви семейства DEM представляют собой метод отдельных элементов, предложенный Питером А. Кандаллом и Отто Д.Л. Страком в 1979 году: ^[5] обобщенный метод дискретных элементов , ^[6] анализ разрывной деформации (DDA) ( Shi 1992 ) и метод конечных дискретных элементов, одновременно разработанные несколькими группами (например, Мунджиза и Оуэн ). Общий метод был первоначально разработан Кандаллом в 1971 году для решения задач механики горных пород. Уильямс ^[6] показал, что DEM можно рассматривать как обобщенный метод конечных элементов, позволяющий деформировать и разрушать частицы. Его применение к задачам геомеханики описано в книге « Численные методы в механике горных пород» . ^[7] 1-я, 2-я и 3-я международные конференции по методам дискретных элементов стали для исследователей общей площадкой для публикации достижений в этом методе и его приложениях. Журнальные статьи с обзором современного состояния были опубликованы Уильямсом и О'Коннором. ^[8] Биканик и Бобет и др. (см. ниже). Подробное описание комбинированного метода конечных элементов и дискретных элементов содержится в книге «Комбинированный метод конечных и дискретных элементов» . ^[9]

Приложения

Фундаментальное предположение метода состоит в том, что материал состоит из отдельных дискретных частиц. Эти частицы могут иметь различную форму и свойства, влияющие на контакт между частицами. Некоторые примеры:

жидкости и растворы, например сахара или белков;
сыпучие материалы в силосах для хранения, например крупы;
зернистое вещество, похожее на песок;
порошки, например тонер.
Глыбовые или трещиноватые горные массы

Типичными отраслями, использующими DEM, являются:

Сельское хозяйство и обработка пищевых продуктов
Химическая
Моющие средства ^[10]
Нефть и газ
Горное дело
Переработка полезных ископаемых
Фармацевтическая промышленность ^[11]
Порошковая металлургия

Краткое описание метода

Моделирование DEM начинается с создания модели, которая приводит к пространственной ориентации всех частиц и присвоению начальной скорости . Силы, действующие на каждую частицу, рассчитываются на основе исходных данных и соответствующих физических законов и моделей контакта. Обычно моделирование состоит из трех частей: инициализация, явное изменение времени и постобработка. Шаг по времени обычно требует этапа сортировки ближайших соседей, чтобы уменьшить количество возможных пар контактов и уменьшить вычислительные требования; часто это выполняется лишь периодически.

При макроскопическом моделировании, возможно, придется учитывать следующие силы:

трение , когда две частицы касаются друг друга;
контактная пластичность , или отдача, при столкновении двух частиц;
гравитация , сила притяжения между частицами, обусловленная их массой, которая актуальна только в астрономическом моделировании.
потенциалы притяжения, такие как когезия , адгезия , образование мостиков жидкостью , электростатическое притяжение . Обратите внимание, что из-за накладных расходов на определение пар ближайших соседей точное разрешение дальних, по сравнению с размером частиц, сил может увеличить вычислительные затраты или потребовать специализированных алгоритмов для разрешения этих взаимодействий.

На молекулярном уровне мы можем рассмотреть:

сила Кулона , электростатическое притяжение или отталкивание частиц, несущих электрический заряд ;
Паулиевское отталкивание , когда два атома приближаются друг к другу вплотную;
сила Ван дер Ваальса .

Все эти силы суммируются, чтобы найти полную силу, действующую на каждую частицу. Метод интегрирования используется для расчета изменения положения и скорости каждой частицы за определенный временной шаг на основе законов движения Ньютона . Затем новые позиции используются для расчета сил на следующем этапе, и этот цикл повторяется до тех пор, пока моделирование не завершится.

Типичными методами интегрирования, используемыми в методе дискретных элементов, являются:

Тепловая цифровая марка

Метод дискретных элементов широко применяется для рассмотрения механических взаимодействий в задачах многих тел, особенно в сыпучих материалах. Среди различных расширений DEM особенно полезен учет теплового потока. Вообще говоря, в методах термической ЦМР рассматривается термомеханическая связь, при которой учитываются тепловые свойства отдельного элемента для моделирования теплового потока через макроскопическую зернистую или многоэлементную среду, подверженную механической нагрузке. ^[12] Межчастичные силы, рассчитываемые как часть классической DEM, используются для определения областей истинного межчастичного контакта и, таким образом, моделируют кондуктивную передачу тепла от одного твердого элемента к другому. Еще одним аспектом, который рассматривается в DEM, является газофазная проводимость, излучение и конвекция тепла в межчастичном пространстве. Чтобы облегчить это, необходимо учитывать свойства межэлементной газовой фазы с точки зрения давления, проводимости газа и длины свободного пробега молекул газа. ^[13]

Силы дальнего действия

Когда учитываются дальнодействующие силы (обычно гравитация или сила Кулона), необходимо рассчитать взаимодействие между каждой парой частиц. И количество взаимодействий, и стоимость вычислений увеличиваются квадратично с количеством частиц. Это неприемлемо для моделирования с большим количеством частиц. Возможный способ избежать этой проблемы — объединить несколько частиц, находящихся далеко от рассматриваемой частицы, в одну псевдочастицу. Рассмотрим в качестве примера взаимодействие звезды с далекой галактикой : ошибка, возникающая при объединении всех звезд далекой галактики в одну точечную массу, незначительна. Так называемые древовидные алгоритмы используются для решения того, какие частицы можно объединить в одну псевдочастицу . Эти алгоритмы упорядочивают все частицы в дереве: квадродереве в двумерном случае и октадереве в трехмерном случае.

Однако моделирование в молекулярной динамике делит пространство, в котором происходит моделирование, на ячейки. Частицы, выходящие через одну сторону ячейки, просто вставляются в другую сторону (периодические граничные условия ); то же самое касается и сил. Сила больше не учитывается после так называемого предельного расстояния (обычно половины длины ячейки), так что на частицу не влияет зеркальное отражение той же частицы на другой стороне ячейки. Теперь можно увеличить количество частиц, просто копируя ячейки.

Алгоритмы борьбы с силой дальнего действия включают в себя:

Моделирование Барнса–Хата ,
метод быстрого мультиполя .

Комбинированный метод конечных дискретных элементов

После работы Мунджизы и Оуэна комбинированный метод конечных дискретных элементов получил дальнейшее развитие для различных нерегулярных и деформируемых частиц во многих приложениях, включая фармацевтическое таблетирование, ^[14] моделирование упаковки и потоков, ^[15] и анализ воздействия. ^[16]

Преимущества и ограничения

Преимущества

DEM можно использовать для моделирования широкого спектра ситуаций, связанных с потоком гранулированных материалов и механикой горных пород. Несколько исследовательских групп независимо друг от друга разработали программное обеспечение для моделирования, которое хорошо согласуется с экспериментальными результатами в широком спектре инженерных приложений, включая клеевые порошки, гранулированный поток и соединенные горные массы.
DEM позволяет более детально изучить микродинамику потоков порошка, чем это часто возможно с помощью физических экспериментов. Например, силовые сети, сформированные в гранулированной среде, можно визуализировать с помощью ЦМР. Такие измерения практически невозможны в экспериментах с малыми и многими частицами.
Общие характеристики контактов, передающих усилие, в гранулированных сборках в условиях внешней нагрузки согласуются с экспериментальными исследованиями с использованием фотостресс-анализа (PSA). ^[17]^[18]

Недостатки

Максимальное количество частиц и продолжительность виртуального моделирования ограничены вычислительной мощностью. Типичные потоки содержат миллиарды частиц, но современные модели DEM на больших вычислительных ресурсах кластера только недавно смогли приблизиться к этому масштабу в течение достаточно длительного времени (моделируемое время, а не фактическое время выполнения программы).
DEM требует больших вычислительных ресурсов, поэтому он не получил столь быстрого и широкого применения в качестве непрерывного подхода в вычислительной инженерии и промышленности. Однако фактическое время выполнения программы может быть значительно сокращено, если для проведения моделирования DEM используются графические процессоры (GPU) из-за большого количества вычислительных ядер на типичных графических процессорах. Кроме того, графические процессоры, как правило, значительно более энергоэффективны, чем традиционные вычислительные кластеры, при проведении моделирования DEM, т. е. моделирование DEM, решенное на графических процессорах, требует меньше энергии, чем при его решении на обычном вычислительном кластере. ^[19]

См. также

Ссылки

^ Пэн, З.; Дорудчи, Э.; Мохтадери, Б. (2020). «Моделирование теплопередачи с помощью метода дискретных элементов (DEM) для моделирования тепловых процессов: теория и разработка моделей». Прогресс в области энергетики и науки о горении . 79, 100847: 100847. doi : 10.1016/j.pecs.2020.100847 . S2CID 218967044 .
^ Пападикис, К.; Гу, С.; Бриджуотер, А.В. (2009). «CFD-моделирование быстрого пиролиза биомассы в реакторах с псевдоожиженным слоем: моделирование влияния усадки биомассы» (PDF) . Химико-технологический журнал . 149 (1–3): 417–427. дои : 10.1016/j.cej.2009.01.036 .
^ Кафуи, КД; Торнтон, К.; Адамс, MJ (2002). «Дискретное моделирование флюидной среды твердого газа и псевдоожиженного слоя». Химико-техническая наука . 57 (13): 2395–2410. Бибкод : 2002ЧЭнС..57.2395К . дои : 10.1016/S0009-2509(02)00140-9 .
^ Тривино, LF; Моханти, Б. (2015). «Оценка зарождения и распространения трещин в горных породах в результате волн напряжения, вызванных взрывом, и расширения газа с помощью межскважинной сейсмометрии и метода FEM – DEM». Международный журнал механики горных пород и горных наук . 77 : 287–299. Бибкод : 2015IJRMM..77..287T . дои : 10.1016/j.ijrmms.2015.03.036 .
^ Кандалл, Питер. А.; Страк, Отто Д.Л. (1979). «Дискретная численная модель гранулированных сборок» (PDF) . Геотехника . 29 (1): 47–65. дои : 10.1680/geot.1979.29.1.47 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Уильямс, младший; Хокинг, Г.; Мусто, GGW (январь 1985 г.). «Теоретические основы метода дискретных элементов» . NUMETA 1985, Численные методы проектирования, теория и приложения . Роттердам: А.А. Балкема.
^ Уильямс, Панде и Бир 1990 .
^ Уильямс, младший; О'Коннор, Р. (декабрь 1999 г.). «Моделирование дискретных элементов и контактная задача». Архив вычислительных методов в технике . 6 (4): 279–304. CiteSeerX 10.1.1.49.9391 . дои : 10.1007/BF02818917 . S2CID 16642399 .
^ Мунджиза, Анте (2004). Комбинированный метод конечных дискретных элементов . Чичестер: Уайли. ISBN 978-0-470-84199-0 .
^ Ализаде, Мохаммадреза; Хассанпур, Али; Паша, Мехрдад; Гадири, Моджтаба; Бэйли, Эндрю (01 сентября 2017 г.). «Влияние формы частиц на прогнозируемую сегрегацию в бинарных порошковых смесях» (PDF) . Порошковая технология . 319 : 313–322. дои : 10.1016/j.powtec.2017.06.059 . ISSN 0032-5910 .
^ Бехджани, Мохаммадреза Ализаде; Мотлах, Юсеф Гаффари; Бэйли, Эндрю; Хассанпур, Али (07.11.2019). «Оценка эффективности смешивания фармацевтических порошковых смесей в смесителе непрерывного действия с использованием метода дискретных элементов (DEM)» . Порошковая технология . 366 : 73–81. дои : 10.1016/j.powtec.2019.10.102 . ISSN 0032-5910 . S2CID 209718900 . Архивировано из оригинала 21 февраля 2020 года.
^ Ган, Исян; Эрнандес, Франциско; Ханаор, Дориан; Аннабаттула, Ратна; Камла, Марк; Переславцев, Павел (2014). «Термический анализ дискретных элементов твердого бланкета ЕС, подвергнутого нейтронному облучению». Наука и технология термоядерного синтеза . 66 (1): 83–90. arXiv : 1406.4199 . Бибкод : 2014FuST...66...83G . дои : 10.13182/FST13-727 . S2CID 51903434 .
^ Цоры, Таль; Бен-Якоб, Нир; Брош, Тамир; Леви, Ави (2013). «Тепловое моделирование DEM–CFD и моделирование теплопередачи через насадочный слой» . Порошковая технология . 244 : 52–60. дои : 10.1016/j.powtec.2013.04.013 .
^ Льюис, RW; Гетин, DT; Ян, XS; Роу, RC (2005). «Комбинированный метод конечных дискретных элементов для моделирования таблетирования фармацевтических порошков». Международный журнал численных методов в технике . 62 (7): 853. arXiv : 0706.4406 . Бибкод : 2005IJNME..62..853L . дои : 10.1002/nme.1287 . S2CID 122962022 .
^ Гетин, DT; Ян, XS; Льюис, RW (2006). «Двумерная комбинированная схема дискретных и конечных элементов для моделирования течения и уплотнения систем, содержащих частицы неправильной формы». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 195 (41–43): 5552. Бибкод : 2006CMAME.195.5552G . дои : 10.1016/j.cma.2005.10.025 .
^ Чен, Ю.; Мэй, ИМ (2009). «Железобетонные элементы при ударах падающего груза». Труды ICE - Сооружения и здания . 162 : 45–56. дои : 10.1680/stbu.2009.162.1.45 .
^ С. Дж. Энтони (2007). «Связь между свойствами одиночных частиц и макроскопическими свойствами в ансамблях частиц: роль структур внутри структур». Философские труды Лондонского королевского общества, Серия: А. 356 : 2879–2891.
^ С. Дж. Энтони, Д. Чепмен, Дж. Суджата и Т. Баракат (2015). «Взаимодействие включений разного размера и их близости к границам стенок на характер распределения напряжений внутри включений внутри упаковки частиц». Порошковая технология . 286 : 286, 98–106. {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Он, Йи; Бэйли, Эндрю Э.; Хассанпур, Али; Мюллер, Франс; Ву, Кэ; Ян, Донмин (01 октября 2018 г.). «Совместный метод SPH-DEM на основе графического процессора для определения потока частиц и жидкости со свободными поверхностями» . Порошковая технология . 338 : 548–562. дои : 10.1016/j.powtec.2018.07.043 . ISSN 0032-5910 .

Библиография

Книга

Биканик, Нинад (2004). «Методы дискретных элементов». В Штейне, Эрвин; Де Борст; Хьюз, Томас-младший (ред.). Энциклопедия вычислительной механики . Том. 1. Уайли. ISBN 978-0-470-84699-5 .
Грибель, Майкл; и др. (2003). Численное моделирование в молекулярной динамике . Берлин: Шпрингер. ISBN 978-3-540-41856-6 .
Уильямс, младший; Хокинг, Г.; Мусто, GGW (январь 1985 г.). «Теоретические основы метода дискретных элементов». NUMETA 1985, Численные методы проектирования, теория и приложения . Роттердам: А.А. Балкема.
Уильямс, младший; Панде, Г.; Бир, младший (1990). Численные методы в механике горных пород . Чичестер: Уайли. ISBN 978-0471920212 .
Раджай, Фаранг; Дюбуа, Фредерик, ред. (2011). Дискретно-элементное моделирование сыпучих материалов . Лондон: Wiley-ISTE. ISBN 978-1-84821-260-2 .
Пошель, Торстен; Швагер, Томс (2005). Вычислительная гранулярная динамика: модели и алгоритмы . Берлин: Шпрингер. ISBN 978-3-540-21485-4 .

Периодическое издание

Бобет, А.; Фахими, А.; Джонсон, С.; Моррис, Дж.; Тонон, Ф.; Юнг, М. Рональд (ноябрь 2009 г.). «Численные модели в прерывистых средах: обзор достижений в области механики горных пород». Журнал геотехнической и геоэкологической инженерии . 135 (11): 1547–1561. дои : 10.1061/(ASCE)GT.1943-5606.0000133 .
Кундалл, Пенсильвания; Страк, ODL (март 1979 г.). «Дискретная численная модель гранулированных сборок». Геотехника . 29 (1): 47–65. дои : 10.1680/geot.1979.29.1.47 .
Кафашан, Дж.; Вёнчек, Ю.; Абд Рахман, Н.; Ган, Дж. (2019). «Двумерное моделирование форм частиц для моделирования DEM в технике: обзор». Гранулированная материя . 21 (3): 80. дои : 10.1007/s10035-019-0935-1 . S2CID 199383188 .
Кавагути, Т.; Танака, Т.; Цудзи, Ю. (май 1998 г.). «Численное моделирование двумерных кипящих слоев методом дискретных элементов (сравнение двух- и трехмерных моделей)» . Порошковая технология . 96 (2): 129–138. дои : 10.1016/S0032-5910(97)03366-4 . Архивировано из оригинала 30 сентября 2007 г. Проверено 23 августа 2005 г.
Уильямс, младший; О'Коннор, Р. (декабрь 1999 г.). «Моделирование дискретных элементов и контактная задача». Архив вычислительных методов в технике . 6 (4): 279–304. CiteSeerX 10.1.1.49.9391 . дои : 10.1007/BF02818917 . S2CID 16642399 .
Чжу, HP; Чжоу, ЗЯ; Ян, Р.Ю.; Ю, А.Б. (июль 2007 г.). «Дискретное моделирование систем твердых частиц: теоретические разработки». Химико-техническая наука . 62 (13): 3378–3396. Бибкод : 2007ЧЭнС..62.3378З . дои : 10.1016/j.ces.2006.12.089 .
Чжу, HP; Чжоу, ЗЯ; Ян, Р.Ю.; Ю, АБ (2008). «Дискретное моделирование систем твердых частиц: обзор основных применений и результатов» . Химико-техническая наука . 63 (23): 5728–5770. Бибкод : 2008ЧЭнС..63.5728З . дои : 10.1016/j.ces.2008.08.006 .

Слушания

Ши, Гэнь-Хуа (февраль 1992 г.). «Анализ прерывистой деформации: новая численная модель статики и динамики деформируемых блочных конструкций». Инженерные расчеты . 9 (2): 157–168. дои : 10.1108/eb023855 .
Уильямс, Джон Р.; Пентланд, Алекс П. (февраль 1992 г.). «Суперквадрики и модальная динамика дискретных элементов в интерактивном дизайне». Инженерные расчеты . 9 (2): 115–127. дои : 10.1108/eb023852 .
Уильямс, Джон Р.; Мусто, Грэм Г.В., ред. (1993). Материалы 2-й Международной конференции по методам дискретных элементов (DEM) (2-е изд.). Кембридж, Массачусетс: Публикации IESL. ISBN 978-0-918062-88-8 .

[Peng-1] Пэн, З.; Дорудчи, Э.; Мохтадери, Б. (2020). «Моделирование теплопередачи с помощью метода дискретных элементов (DEM) для моделирования тепловых процессов: теория и разработка моделей». Прогресс в области энергетики и науки о горении . 79, 100847: 100847. doi : 10.1016/j.pecs.2020.100847 . S2CID 218967044 .

[Papadikis-2] Пападикис, К.; Гу, С.; Бриджуотер, А.В. (2009). «CFD-моделирование быстрого пиролиза биомассы в реакторах с псевдоожиженным слоем: моделирование влияния усадки биомассы» (PDF) . Химико-технологический журнал . 149 (1–3): 417–427. дои : 10.1016/j.cej.2009.01.036 .

[Kafui-3] Кафуи, КД; Торнтон, К.; Адамс, MJ (2002). «Дискретное моделирование флюидной среды твердого газа и псевдоожиженного слоя». Химико-техническая наука . 57 (13): 2395–2410. Бибкод : 2002ЧЭнС..57.2395К . дои : 10.1016/S0009-2509(02)00140-9 .

[Trivino-4] Тривино, LF; Моханти, Б. (2015). «Оценка зарождения и распространения трещин в горных породах в результате волн напряжения, вызванных взрывом, и расширения газа с помощью межскважинной сейсмометрии и метода FEM – DEM». Международный журнал механики горных пород и горных наук . 77 : 287–299. Бибкод : 2015IJRMM..77..287T . дои : 10.1016/j.ijrmms.2015.03.036 .

[5] Кандалл, Питер. А.; Страк, Отто Д.Л. (1979). «Дискретная численная модель гранулированных сборок» (PDF) . Геотехника . 29 (1): 47–65. дои : 10.1680/geot.1979.29.1.47 .

[WHM85-6] Перейти обратно: ^а ^б Уильямс, младший; Хокинг, Г.; Мусто, GGW (январь 1985 г.). «Теоретические основы метода дискретных элементов» . NUMETA 1985, Численные методы проектирования, теория и приложения . Роттердам: А.А. Балкема.

[FOOTNOTEWilliamsPandeBeer1990-7] Уильямс, Панде и Бир 1990 .

[8] Уильямс, младший; О'Коннор, Р. (декабрь 1999 г.). «Моделирование дискретных элементов и контактная задача». Архив вычислительных методов в технике . 6 (4): 279–304. CiteSeerX 10.1.1.49.9391 . дои : 10.1007/BF02818917 . S2CID 16642399 .

[Munjiza_2004-9] Мунджиза, Анте (2004). Комбинированный метод конечных дискретных элементов . Чичестер: Уайли. ISBN 978-0-470-84199-0 .

[10] Ализаде, Мохаммадреза; Хассанпур, Али; Паша, Мехрдад; Гадири, Моджтаба; Бэйли, Эндрю (01 сентября 2017 г.). «Влияние формы частиц на прогнозируемую сегрегацию в бинарных порошковых смесях» (PDF) . Порошковая технология . 319 : 313–322. дои : 10.1016/j.powtec.2017.06.059 . ISSN 0032-5910 .

[11] Бехджани, Мохаммадреза Ализаде; Мотлах, Юсеф Гаффари; Бэйли, Эндрю; Хассанпур, Али (07.11.2019). «Оценка эффективности смешивания фармацевтических порошковых смесей в смесителе непрерывного действия с использованием метода дискретных элементов (DEM)» . Порошковая технология . 366 : 73–81. дои : 10.1016/j.powtec.2019.10.102 . ISSN 0032-5910 . S2CID 209718900 . Архивировано из оригинала 21 февраля 2020 года.

[12] Ган, Исян; Эрнандес, Франциско; Ханаор, Дориан; Аннабаттула, Ратна; Камла, Марк; Переславцев, Павел (2014). «Термический анализ дискретных элементов твердого бланкета ЕС, подвергнутого нейтронному облучению». Наука и технология термоядерного синтеза . 66 (1): 83–90. arXiv : 1406.4199 . Бибкод : 2014FuST...66...83G . дои : 10.13182/FST13-727 . S2CID 51903434 .

[13] Цоры, Таль; Бен-Якоб, Нир; Брош, Тамир; Леви, Ави (2013). «Тепловое моделирование DEM–CFD и моделирование теплопередачи через насадочный слой» . Порошковая технология . 244 : 52–60. дои : 10.1016/j.powtec.2013.04.013 .

[14] Льюис, RW; Гетин, DT; Ян, XS; Роу, RC (2005). «Комбинированный метод конечных дискретных элементов для моделирования таблетирования фармацевтических порошков». Международный журнал численных методов в технике . 62 (7): 853. arXiv : 0706.4406 . Бибкод : 2005IJNME..62..853L . дои : 10.1002/nme.1287 . S2CID 122962022 .

[15] Гетин, DT; Ян, XS; Льюис, RW (2006). «Двумерная комбинированная схема дискретных и конечных элементов для моделирования течения и уплотнения систем, содержащих частицы неправильной формы». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 195 (41–43): 5552. Бибкод : 2006CMAME.195.5552G . дои : 10.1016/j.cma.2005.10.025 .

[16] Чен, Ю.; Мэй, ИМ (2009). «Железобетонные элементы при ударах падающего груза». Труды ICE - Сооружения и здания . 162 : 45–56. дои : 10.1680/stbu.2009.162.1.45 .

[17] С. Дж. Энтони (2007). «Связь между свойствами одиночных частиц и макроскопическими свойствами в ансамблях частиц: роль структур внутри структур». Философские труды Лондонского королевского общества, Серия: А. 356 : 2879–2891.

[18] С. Дж. Энтони, Д. Чепмен, Дж. Суджата и Т. Баракат (2015). «Взаимодействие включений разного размера и их близости к границам стенок на характер распределения напряжений внутри включений внутри упаковки частиц». Порошковая технология . 286 : 286, 98–106. {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[19] Он, Йи; Бэйли, Эндрю Э.; Хассанпур, Али; Мюллер, Франс; Ву, Кэ; Ян, Донмин (01 октября 2018 г.). «Совместный метод SPH-DEM на основе графического процессора для определения потока частиц и жидкости со свободными поверхностями» . Порошковая технология . 338 : 548–562. дои : 10.1016/j.powtec.2018.07.043 . ISSN 0032-5910 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]