Треугольная функция

Не путать с тригонометрическими функциями или функцией треугольника Шварца .

Пример треугольной функции

Треугольная функция (также известная как функция треугольника , функция шляпы или функция палатки ) — это функция, график которой имеет форму треугольника. Часто это равнобедренный треугольник с высотой 1 и основанием 2, и в этом случае его называют треугольной функцией. Треугольные функции полезны при разработке систем обработки сигналов и связи как представления идеализированных сигналов, а треугольные функции особенно полезны в качестве функции ядра интегрального преобразования , из которой могут быть получены более реалистичные сигналы, например, при оценке плотности ядра . Он также находит применение в импульсно-кодовой модуляции в качестве формы импульса для передачи цифровых сигналов и в качестве согласованного фильтра для приема сигналов. Он также используется для определения треугольного окна, иногда называемого окном Бартлетта .

Определения

Наиболее распространенное определение - это кусочная функция:

${\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)=\Lambda (x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1-|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-|x|,&|x|<1;\\0&{\text{otherwise}}.\\\end{cases}}\end{aligned}}$

Эквивалентно, его можно определить как свертку двух идентичных единичных прямоугольных функций :

${\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)&=\operatorname {rect} (x)*\operatorname {rect} (x)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (x-\tau )\cdot \operatorname {rect} (\tau )\,d\tau .\\\end{aligned}}$

Треугольную функцию также можно представить как произведение прямоугольной функции и функции абсолютного значения :

$\operatorname {tri} (x)=\operatorname {rect} (x/2){\big (}1-|x|{\big )}.$

Альтернативная функция треугольника

Обратите внимание, что некоторые авторы вместо этого определяют функцию треугольника так, чтобы ее основание имело ширину 1 вместо ширины 2:

${\begin{aligned}\operatorname {tri} (2x)=\Lambda (2x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1-2|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-2|x|,&|x|<{\tfrac {1}{2}};\\0&{\text{otherwise}}.\\\end{cases}}\end{aligned}}$

В наиболее общей форме треугольная функция — это любой линейный B-сплайн :

$\operatorname {tri} _{j}(x)={\begin{cases}(x-x_{j-1})/(x_{j}-x_{j-1}),&x_{j-1}\leq x<x_{j};\\(x_{j+1}-x)/(x_{j+1}-x_{j}),&x_{j}\leq x<x_{j+1};\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

Принимая во внимание, что определение вверху является особым случаем

$\Lambda (x)=\operatorname {tri} _{j}(x),$

где $x_{j-1}=-1$, $x_{j}=0$, и $x_{j+1}=1$.

Линейный B-сплайн — это то же самое, что непрерывная кусочно-линейная функция. $f(x)$, и эта общая функция треугольника полезна для формального определения $f(x)$ как

$f(x)=\sum _{j}y_{j}\cdot \operatorname {tri} _{j}(x),$

где $x_{j}<x_{j+1}$ для всех целых чисел $j$.Кусочно-линейная функция проходит через каждую точку, выраженную в виде координат с упорядоченной парой $(x_{j},y_{j})$, то есть,

$f(x_{j})=y_{j}$.

Масштабирование

По любому параметру $a\neq 0$:

${\begin{aligned}\operatorname {tri} \left({\tfrac {t}{a}}\right)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\tfrac {1}{|a|}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {\tau }{a}}\right)\cdot \operatorname {rect} \left({\tfrac {t-\tau }{a}}\right)\,d\tau \\&={\begin{cases}1-|t/a|,&|t|<|a|;\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}$

Преобразование Фурье

Преобразование легко определяется с использованием свойства свертки преобразований Фурье и преобразования Фурье прямоугольной функции :

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {tri} (t)\}&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\cdot {\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}^{2}\\&=\mathrm {sinc} ^{2}(f),\end{aligned}}$

где $\operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)$ — нормализованная функция sinc .

См. также

• Функция Каллина , также известная как функция треугольника
• Карта палаток
• Треугольное распределение
• Треугольная волна , кусочно-линейная периодическая функция
• Тригонометрические функции