Биортогональный почти койфлетный базис

В прикладной математике биортогональные почти койфлетные базисы представляют собой вейвлет -базисы, предложенные Лоуэллом Л. Вингером. Вейвлет основан на биортогональных базисах вейвлетов -койфлетов фильтра , но его регулярностью жертвуют ради увеличения полосы пропускания , что может привести к повышению производительности сжатия изображений .

Мотивация

В настоящее время хранится, обрабатывается и доставляется большой объем информации, поэтому метод сжатия данных, особенно изображений, становится более значимым. Поскольку вейвлет-преобразования могут обрабатывать сигналы как в пространственной, так и в частотной областях, они компенсируют недостаток преобразований Фурье и стали потенциальным методом обработки изображений.

Традиционная конструкция вейвлет -фильтра предпочитает фильтры с высокой регулярностью и плавностью для сжатия изображения . Койфлеты - это такой тип фильтра, который подчеркивает исчезающие моменты как вейвлета, так и масштабирующей функции , и этого можно достичь путем максимизации общего количества исчезающих моментов и распределения их между фильтрами нижних частот анализа и синтеза . Свойство исчезающих моментов позволяет вейвлет-сериям сигнала быть разреженным , что является причиной того, что вейвлеты могут применяться для сжатия изображений . Помимо ортогональных наборов биортогональные вейвлеты с максимальными исчезающими моментами. фильтров, также были предложены Однако регулярности и плавности недостаточно для превосходного сжатия изображений. Обычные банки фильтров предпочитают фильтры с высокой регулярностью, плоскими полосами пропускания и полосами задерживания, а также узкой переходной зоной, в то время как Pixstream Incorporated предлагает фильтры с более широкой полосой пропускания, жертвуя их регулярностью и неравномерностью полосы пропускания.

Теория

Биортогональная база вейвлета содержит две вейвлет-функции: $\psi (t)$ и его пара вейвлетов ${\tilde {\psi }}(t)$, пока $\psi (t)$ относится к фильтру анализа нижних частот $H0$ и фильтр анализа верхних частот $G0$. Сходным образом, ${\tilde {\psi }}(t)$ относится к фильтру синтеза нижних частот ${\tilde {H}}0$ и фильтр синтеза верхних частот ${\tilde {G0}}$. Для биортогональной базы вейвлета $H0$ и ${\tilde {G0}}$ ортогональны; Так же, $G0$ и ${\tilde {H0}}$ тоже ортогональны.

Чтобы построить биортогональное, почти койфлетное основание, компания Pixstream Incorporated начинает с (максимально плоского) биортогонального основания койлета. Разложение и реконструкция фильтров нижних частот, выраженных полиномами Бернштейна, гарантирует, что коэффициенты фильтров симметричны, что приносит пользу при обработке изображений: если фаза действительной функции является симметричной, то функция имеет обобщенную линейную фазу, и поскольку человеческие глаза чувствительны к симметричной ошибке, вейвлет-база с линейной фазой лучше подходит для обработки изображений.

Напомним, что полиномы Бернштейна определяются следующим образом:

$B_{k}^{n}(x)=(_{k}^{n})x^{k}(1-x)^{n-k}{\text{ for }}k=1,2,\ldots ,n,$

который можно рассматривать как полином f(x) на интервале $x\in [0,1]$. Кроме того, форма Бернштейна общего многочлена выражается формулой

$H1(x)=\sum _{k=0}^{n}d(k)(_{k}^{n})x^{k}(1-x)^{n-k},$

где d ( i ) — коэффициенты Бернштейна. Обратите внимание, что количество нулей в коэффициентах Бернштейна определяет моменты исчезновения вейвлет-функций. Пожертвовав нулем фильтра Бернштейна в точке $\omega =\pi$ (что жертвует своей регулярностью и плоскостностью), фильтр больше не является койфлетом , а почти койфлетом . величина ненулевого базисного коэффициента Затем увеличивается Бернштейна высшего порядка, что приводит к более широкой полосе пропускания . С другой стороны, для выполнения сжатия и реконструкции изображения фильтры анализа определяются фильтрами синтеза . Поскольку разработанный фильтр имеет более низкую регулярность, худшую неравномерность и более широкую полосу пропускания, полученный двойной фильтр нижних частот имеет более высокую регулярность, лучшую неравномерность и более узкую полосу пропускания. Кроме того, если полоса пропускания начального биортогонального койфлета уже, чем целевой фильтр синтеза G0, то его полоса пропускания расширяется только настолько, чтобы соответствовать G0, чтобы минимизировать влияние на гладкость (т. е. фильтр анализа H0 не всегда является фильтром проектирования). . Аналогично, если исходный койфлет шире целевого G0, полоса пропускания исходного фильтра настраивается так, чтобы соответствовать фильтру анализа H0. Следовательно, фильтры анализа и синтеза имеют одинаковую полосу пропускания.

Эффект звона ( перерегулирование и недорегулирование) и дисперсия сдвига при сжатии изображения можно уменьшить путем балансировки полосы пропускания фильтров анализа и синтеза. Другими словами, фильтры с самой гладкой или самой высокой регулярностью не всегда являются лучшим выбором для синтеза фильтров нижних частот.

Недостаток

Идея этого метода состоит в том, чтобы получить больше свободных параметров за счет отбрасывания некоторых исчезающих элементов. Однако этот метод не может объединить банки биортогональных вейвлет-фильтров с разными отводами в выражение замкнутой формы, основанное на одной степени свободы .