Стационарное вейвлет-преобразование

Стационарное вейвлет-преобразование ( SWT ) ^[1] — это алгоритм вейвлет-преобразования , предназначенный для преодоления отсутствия трансляционной инвариантности дискретного вейвлет-преобразования (DWT). Трансляционная инвариантность достигается за счет удаления понижающих и повышающих дискретизаторов в DWT и повышения дискретизации коэффициентов фильтра в раз. $2^{(j-1)}$ в $j$ уровень алгоритма. ^[2]^[3]^[4]^[5] SWT является по своей сути избыточной схемой, поскольку выходные данные каждого уровня SWT содержат то же количество выборок, что и входные, поэтому для разложения N уровней существует избыточность N в вейвлет-коэффициентах. Этот алгоритм более известен как « алгоритм à trous » на французском языке (слово trous на английском означает «дырки»), что означает вставку нулей в фильтры. Он был введен Хольшнейдером и др. ^[6]

Определение

Базовый алгоритм дискретного вейвлет-преобразования (DWT) адаптирован для получения стационарного вейвлет-преобразования (SWT), которое не зависит от источника. Подход SWT прост: к данным на каждом уровне применяются подходящие фильтры верхних и нижних частот , что приводит к созданию двух последовательностей на последующем уровне. Без использования методов понижающей дискретизации длина новых последовательностей сохраняется такой же, как и исходные последовательности. Вместо использования прореживания, аналогичного стандартному вейвлет-преобразованию, которое удаляет элементы, фильтры на каждом уровне корректируются путем дополнения их нулями, как описано ниже: ^[7]

${Zx}_{2j}=x_{j},\ {Zx}_{2j+1}=0\ for\ all\ integers\ j$

$D_{0}^{r}H^{\left[r\right]}=HD_{0}^{r}$

$D_{0}^{r}G^{\left[r\right]}=GD_{0}^{r}$

где $Z$ это оператор, который перемежает заданную последовательность нулями для всех целых чисел $j$ .

$D_{0}^{r}$ это оператор двоичного прореживания

$H^{\left[r\right]}$ это фильтр с весами ${h_{2^{r}}^{\left[r\right]}}_{j}=h_{j}\ and\ h_{k}^{\left[r\right]}=0\ if\ k\ is\ not\ a\ multiple\ of\ 2^{r}.$

$G^{\left[r\right]}$ это фильтр с весами ${g_{2^{r}}^{\left[r\right]}}_{j}=h_{j}\ and\ g_{k}^{\left[r\right]}=0\ if\ k\ is\ not\ a\ multiple\ of\ 2^{r}.$

Конструкция фильтров $H^{\left[r\right]}$ и $G^{\left[r\right]}$ включает вставку нуля между каждой соседней парой элементов в фильтре $H^{\left[r-1\right]}$ и $G^{\left[r-1\right]}$ соответственно.

Обозначение $a^{J}$ как исходная последовательность $c^{J}$ требуется перед определением стационарного вейвлет-преобразования.

$a^{j-1}=H^{\left[J-j\right]}a^{j},\ for\ j=J,J-1,\ \ldots \ ,1\$

$b^{j-1}=G^{\left[J-j\right]}a^{j},for\ j=J,J-1,\ \ldots \ ,1$

где $a^{j}=b^{j},\ if\ length\ of\ a^{j}=2^{J}$

Выполнение

Следующая блок-схема изображает цифровую реализацию SWT.

На приведенной выше диаграмме фильтры на каждом уровне представляют собой версии предыдущего с повышенной дискретизацией (см. рисунок ниже).

Приложения

Ниже приведены несколько применений SWT.

Улучшение изображения

SWT можно использовать для повышения разрешения изображения, чтобы обеспечить лучшее качество изображения. Основным недостатком повышения разрешения изображения с помощью обычного метода интерполяции является потеря высокочастотных составляющих. ^[8] В результате происходит сглаживание интерполяции, обеспечивающее размытость изображения с отсутствием или уменьшенным присутствием мелких деталей, резких краев. Информация о высокочастотных компонентах (краях) имеет решающее значение для достижения лучшего качества изображения сверхразрешения.

Сначала он разлагает входное изображение на различные изображения поддиапазонов, применяя одноуровневый DWT. Есть три изображения поддиапазонов для захвата высокочастотных компонентов входного изображения. После этого реализуется SWT, его цель состоит в том, чтобы уменьшить потери информации, вызванные понижающей дискретизацией в каждом поддиапазоне DWT. Усиленные и исправленные высокочастотные поддиапазоны формируются путем суммирования высокочастотных поддиапазонов от DWT и SWT, в результате чего выходное изображение получается с заостренными краями.

Шумоподавление сигнала

Традиционная процедура шумоподавления в основном состоит из первого преобразования сигнала в другую область, затем применения пороговой обработки и, наконец, обратного преобразования для восстановления исходного сигнала. Стационарное вейвлет-преобразование введено для устранения явления Гиббса , вызванного процессом сдвига в дискретном вейвлет-преобразовании . Это явление влияет на качество изображения (шумы) после процесса реконструкции. Модифицированная процедура проста: сначала выполняется стационарное вейвлет-преобразование сигнала, определение порога и, наконец, обратное преобразование. Краткое объяснение выглядит следующим образом:

В отличие от дискретного вейвлет-преобразования, SWT не понижает дискретизацию сигнала на каждом уровне. Вместо этого он сохраняет исходную частоту дискретизации на протяжении всего процесса разложения, и это обеспечивает эффективную инкапсуляцию высоко- и низкочастотных компонентов. Поскольку шум часто распространяется по всем масштабам с небольшим вкладом по величине, пороговая обработка реализуется как следующий шаг к вейвлет-коэффициентам. Коэффициенты ниже определенного порогового уровня обнуляются или уменьшаются, что приводит к отделению сигнала от шума. После удаления или подавления шумовых коэффициентов, которые не учитываются в ходе реконструкции, очищенный от шума сигнал становится более четким.

Шумоподавление сигнала также широко используется при шумоподавлении биомедицинских сигналов (ЭКГ). ^[9] шумоподавление изображения. Эффективность SWT в шумоподавлении сигнала делает его ценным инструментом в реальных приложениях в различных областях.

Распознавание образов
Классификация изображений мозга ^[10]
Патологическое обнаружение мозга ^[11]

Пример кода

Вот пример применения стационарного вейвлет-преобразования к ЛМ-сигналу, закодированному с помощью Python3:

Установите необходимые пакеты в Python

pip   установить   numpy  pip   установить   matplotlib  pip   установить   pywt

Импортировать библиотеки в Python

импортировать   numpy   как   np,  импортировать   matplotlib.pyplot   как   plt,  импортировать   pywt

Основной код

# Генерация ЛЧМ-сигнала  t   =   np  .  linspace  (  0  ,   1  ,   1000  ,   конечная точка  =  False  )  частота   =   10   +   20   *   t  chirp_signal   =   np  .  sin  (  2   *   np  .  pi   *   частота   *   t  )  # Выполнение стационарного вейвлет-преобразования (SWT)  wavelet   =   'db1'   # Вейвлет Добеши  level   =   3   уровня разложения  # Coeffs   =   pywt  .  swt  (  chirp_signal  ,   wavelet  ,   level  )   # Коэффициенты  # Постройте исходный сигнал  plt  .  рисунок  (  figsize  =  (  12  ,   6  ))  plt  .  подсюжет  (  уровень   +   2  ,   1  ,   1  )  plt  .  сюжет  (  t  ,   chirp_signal  )  plt  .  title  (  «Исходный сигнал Chirp»  )  plt  .  Legend  ()  # Постройте коэффициенты SWT  для   i   в   диапазоне  (  уровне  ):      plt  .  подсюжет  (  уровень   +   2  ,   1  ,   я   +   2  )      plt  .  сюжет  (  t  ,   коэффициенты  [  i  ][  0  ])      plt  .  сюжет  (  t  ,   коэффициенты  [  i  ][  1  ])      plt  .  title  (  f  'Коэффициенты SWT - Уровень  {  i  }  '  )  plt  .  плотно_макет  ()  plt  .  показывать  ()

Выход

Синонимы

Избыточное вейвлет-преобразование
Алгоритм отверстия
Квазинепрерывное вейвлет-преобразование
Вейвлет-преобразование, инвариантное к трансляции
Вейвлет-преобразование, инвариантное к сдвигу
Велоотжим
Вейвлет-преобразование с максимальным перекрытием (MODWT)
Непрореженное вейвлет-преобразование (UWT)

См. также

Ссылки

^ Джеймс Э. Фаулер: Избыточное дискретное вейвлет-преобразование и аддитивный шум , содержит обзор различных названий этого преобразования.
^ А.Н. Акансу и Ю. Лю, О методах разложения сигналов, Оптическая инженерия, стр. 912-920, июль 1991.
^ MJ Shensa, Дискретное вейвлет-преобразование: свадьба алгоритмов A Trous и Mallat, Транзакции IEEE по обработке сигналов, Том 40, № 10, октябрь 1992 г.
^ М. В. Тазебай, А. Н. Акансу, Прогрессивная оптимальность в иерархических банках фильтров, Труды. Международная конференция IEEE по обработке изображений (ICIP), Том 1, стр. 825–829, ноябрь 1994 г.
^ М. В. Тазебай и А. Н. Акансу, Адаптивные преобразования поддиапазонов в частотно-временных преобразователях для систем связи DSSS, Транзакции IEEE по обработке сигналов, Том 43, № 11, стр. 2776-2782, ноябрь 1995 г.
^ М. Холшнайдер, Р. Кронланд-Мартине, Ж. Морле и П. Чамитчян. Алгоритм анализа сигналов в реальном времени с помощью вейвлет-преобразования. В вейвлетах, частотно-временных методах и фазовом пространстве , стр. 289–297. Спрингер-Верлаг, 1989.
^ Нэйсон, врач общей практики; Сильверман, Б.В. (1995), «Стационарное вейвлет-преобразование и некоторые статистические приложения» , Вейвлеты и статистика , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York, стр. 281–299, doi : 10.1007/978-1-4612-2544-7_17 , ISBN 978-0-387-94564-4 , получено 26 декабря 2023 г.
^ Демирель, Х.; Анбарджафари, Г. (2011). «Повышение разрешения ИЗОБРАЖЕНИЯ за счет использования дискретного и стационарного вейвлет-разложения» . Транзакции IEEE при обработке изображений . 20 (5): 1458–1460. Бибкод : 2011ITIP...20.1458D . дои : 10.1109/TIP.2010.2087767 . ПМИД 20959267 . Проверено 26 декабря 2023 г.
^ Кумар, Ашиш; Томар, Харшит; Мела, Вирендер Кумар; Комарагири, Рама; Кумар, Манджит (1 августа 2021 г.). «Метод шумоподавления сигнала ЭКГ на основе стационарного вейвлет-преобразования» . ISA-транзакции . 114 : 251–262. дои : 10.1016/j.isatra.2020.12.029 . ISSN 0019-0578 . ПМИД 33419569 . S2CID 230588417 .
^ Чжан, Ю. (2010). «Извлечение характеристик МРТ головного мозга с помощью стационарного вейвлет-преобразования и его применение». Журнал биологических систем . 18 (с1): 115–132. дои : 10.1142/S0218339010003652 .
^ Донг, З. (2015). «Магнитно-резонансная классификация изображений мозга с помощью стационарного вейвлет-преобразования и машины проксимальных опорных векторов обобщенных собственных значений». Журнал медицинской визуализации и медицинской информатики . 5 (7): 1395–1403. дои : 10.1166/jmihi.2015.1542 .

[1] Джеймс Э. Фаулер: Избыточное дискретное вейвлет-преобразование и аддитивный шум , содержит обзор различных названий этого преобразования.

[2] А.Н. Акансу и Ю. Лю, О методах разложения сигналов, Оптическая инженерия, стр. 912-920, июль 1991.

[3] MJ Shensa, Дискретное вейвлет-преобразование: свадьба алгоритмов A Trous и Mallat, Транзакции IEEE по обработке сигналов, Том 40, № 10, октябрь 1992 г.

[4] М. В. Тазебай, А. Н. Акансу, Прогрессивная оптимальность в иерархических банках фильтров, Труды. Международная конференция IEEE по обработке изображений (ICIP), Том 1, стр. 825–829, ноябрь 1994 г.

[5] М. В. Тазебай и А. Н. Акансу, Адаптивные преобразования поддиапазонов в частотно-временных преобразователях для систем связи DSSS, Транзакции IEEE по обработке сигналов, Том 43, № 11, стр. 2776-2782, ноябрь 1995 г.

[6] М. Холшнайдер, Р. Кронланд-Мартине, Ж. Морле и П. Чамитчян. Алгоритм анализа сигналов в реальном времени с помощью вейвлет-преобразования. В вейвлетах, частотно-временных методах и фазовом пространстве , стр. 289–297. Спрингер-Верлаг, 1989.

[7] Нэйсон, врач общей практики; Сильверман, Б.В. (1995), «Стационарное вейвлет-преобразование и некоторые статистические приложения» , Вейвлеты и статистика , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York, стр. 281–299, doi : 10.1007/978-1-4612-2544-7_17 , ISBN 978-0-387-94564-4 , получено 26 декабря 2023 г.

[8] Демирель, Х.; Анбарджафари, Г. (2011). «Повышение разрешения ИЗОБРАЖЕНИЯ за счет использования дискретного и стационарного вейвлет-разложения» . Транзакции IEEE при обработке изображений . 20 (5): 1458–1460. Бибкод : 2011ITIP...20.1458D . дои : 10.1109/TIP.2010.2087767 . ПМИД 20959267 . Проверено 26 декабря 2023 г.

[9] Кумар, Ашиш; Томар, Харшит; Мела, Вирендер Кумар; Комарагири, Рама; Кумар, Манджит (1 августа 2021 г.). «Метод шумоподавления сигнала ЭКГ на основе стационарного вейвлет-преобразования» . ISA-транзакции . 114 : 251–262. дои : 10.1016/j.isatra.2020.12.029 . ISSN 0019-0578 . ПМИД 33419569 . S2CID 230588417 .

[10] Чжан, Ю. (2010). «Извлечение характеристик МРТ головного мозга с помощью стационарного вейвлет-преобразования и его применение». Журнал биологических систем . 18 (с1): 115–132. дои : 10.1142/S0218339010003652 .

[11] Донг, З. (2015). «Магнитно-резонансная классификация изображений мозга с помощью стационарного вейвлет-преобразования и машины проксимальных опорных векторов обобщенных собственных значений». Журнал медицинской визуализации и медицинской информатики . 5 (7): 1395–1403. дои : 10.1166/jmihi.2015.1542 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]