Эрмитовский вейвлет

Эрмитовые вейвлеты — это семейство дискретных и непрерывных вейвлетов, используемых в непрерывном и дискретном вейвлет-преобразовании Эрмита. $n^{\textrm {th}}$ Эрмитовский вейвлет определяется как $n^{\textrm {th}}$ производная распределения Гаусса для каждого положительного $n$ : ^[1] $\Psi _{n}(x)=(2n)^{-{\frac {n}{2}}}c_{n}\operatorname {He} _{n}\left(x\right)e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},$ где в этом случае (вероятностный) полином Эрмита $\operatorname {He} _{n}(x)$ можно рассмотреть.

Коэффициент нормализации $c_{n}$ дается $c_{n}=\left(n^{{\frac {1}{2}}-n}\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right)^{-{\frac {1}{2}}}=\left(n^{{\frac {1}{2}}-n}{\sqrt {\pi }}2^{-n}(2n-1)!!\right)^{-{\frac {1}{2}}}\quad n\in \mathbb {N} .$ Функция $\Psi \in L_{\rho ,\mu }(-\infty ,\infty )$ называется допустимым вейвлетом Эрмита, если он удовлетворяет соотношению допустимости: ^[2]

$C_{\Psi }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\|{\hat {\Psi }}(n)\|^{2}}{\|n\|}}<\infty$

где ${\hat {\Psi }}(n)$ представляет собой преобразование Эрмита $\Psi$ .

Совершенник $C_{\Psi }$ в разрешении тождество непрерывного вейвлет-преобразования для этого вейвлета определяется формулой ^{[ нужны дальнейшие объяснения ]} $C_{\Psi }={\frac {4\pi n}{2n-1}}.$ В компьютерном зрении и обработке изображений операторы производной Гаусса разных порядков часто используются в качестве основы для выражения различных типов визуальных операций; см. масштаб пространства и N-струйный . ^[3]

Примеры

Первые три производные функции Гаусса с $\mu =0,\;\sigma =1$ : $f(t)=\pi ^{-1/4}e^{(-t^{2}/2)},$ являются: ${\begin{aligned}f'(t)&=-\pi ^{-1/4}te^{(-t^{2}/2)},\\f''(t)&=\pi ^{-1/4}(t^{2}-1)e^{(-t^{2}/2)},\\f^{(3)}(t)&=\pi ^{-1/4}(3t-t^{3})e^{(-t^{2}/2)},\end{aligned}}$ и их $L^{2}$ нормы $\lVert f'\rVert ={\sqrt {2}}/2,\lVert f''\rVert ={\sqrt {3}}/2,\lVert f^{(3)}\rVert ={\sqrt {30}}/4$ .

Нормализация производных дает три эрмитовых вейвлета: ${\begin{aligned}\Psi _{1}(t)&={\sqrt {2}}\pi ^{-1/4}te^{(-t^{2}/2)},\\\Psi _{2}(t)&={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\pi ^{-1/4}(1-t^{2})e^{(-t^{2}/2)},\\\Psi _{3}(t)&={\frac {2}{15}}{\sqrt {30}}\pi ^{-1/4}(t^{3}-3t)e^{(-t^{2}/2)}.\end{aligned}}$

См. также

Вейвлет
Вейвлет Рикера – это $n=2$ Эрмитовский вейвлет

Ссылки

^ Брэкс, Ф.; Де Шеппер, Х.; Де Шеппер, Н.; Соммен, Ф. (1 февраля 2008 г.). «Эрмитовы вейвлеты Клиффорда-Эрмита: альтернативный подход» . Бюллетень Бельгийского математического общества, Саймон Стевин . 15 (1). дои : 10.36045/bbms/1203692449 . ISSN 1370-1444 .
^ «Непрерывные и дискретные вейвлет-преобразования, связанные с преобразованием Эрмита» . Международный журнал анализа и приложений . 2020. doi : 10.28924/2291-8639-18-2020-531 .
^ Вау, Бенджамин В., изд. (15 марта 2007 г.). Энциклопедия компьютерных наук и техники Wiley (1-е изд.). Уайли. дои : 10.1002/9780470050118.ecse609 . ISBN 978-0-471-38393-2 .

Внешние ссылки

Эрмитовы вейвлеты Клиффорда – Эрмита (кафедра математического анализа, инженерный факультет, Гентский университет)

[1] Брэкс, Ф.; Де Шеппер, Х.; Де Шеппер, Н.; Соммен, Ф. (1 февраля 2008 г.). «Эрмитовы вейвлеты Клиффорда-Эрмита: альтернативный подход» . Бюллетень Бельгийского математического общества, Саймон Стевин . 15 (1). дои : 10.36045/bbms/1203692449 . ISSN 1370-1444 .

[2] «Непрерывные и дискретные вейвлет-преобразования, связанные с преобразованием Эрмита» . Международный журнал анализа и приложений . 2020. doi : 10.28924/2291-8639-18-2020-531 .

[3] Вау, Бенджамин В., изд. (15 марта 2007 г.). Энциклопедия компьютерных наук и техники Wiley (1-е изд.). Уайли. дои : 10.1002/9780470050118.ecse609 . ISBN 978-0-471-38393-2 .

[1]

[2]

[3]