Эрмитовский номер

В математике — числа Эрмита это значения полиномов Эрмита с нулевым аргументом. Обычно они определяются для полиномов Эрмита физиков.

Формальное определение

Числа H _n = H _n (0), где H _n ( x ) — многочлен Эрмита порядка n , можно назвать числами Эрмита.

Первые числа Эрмита:

$H_{0}=1\,$

$H_{1}=0\,$

$H_{2}=-2\,$

$H_{3}=0\,$

$H_{4}=+12\,$

$H_{5}=0\,$

$H_{6}=-120\,$

$H_{7}=0\,$

$H_{8}=+1680\,$

$H_{9}=0\,$

$H_{10}=-30240\,$

Рекурсивные отношения

Получаются из рекуррентных соотношений эрмитовых полиномов при x = 0:

$H_{n}=-2(n-1)H_{n-2}.\,\!$

Поскольку H ₀ = 1 и H ₁ можно построить замкнутую формулу = 0, для H _n :

$H_{n}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\\(-1)^{n/2}2^{n/2}(n-1)!!,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\end{cases}}$

где ( n - 1)!! = 1×3×...×( n – 1).

Использование

Из производящей функции эрмитовых полиномов следует, что

$\exp(-t^{2}+2tx)=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\,\!$

Ссылка дает формальный степенной ряд :

$H_{n}(x)=(H+2x)^{n}\,\!$

где формально n -я степень H , H ^н , — n -е число Эрмита, H _n . (См. Умбральное исчисление .)