Теорема об эквиколебаниях

В математике теорема об эквиколебаниях касается аппроксимации непрерывных функций с помощью полиномов , когда функция качества представляет собой максимальную разность ( равномерную норму ). Его открытие приписывают Чебышеву .

Заявление

Позволять $f$ быть непрерывной функцией от $[a,b]$ к $\mathbb {R}$. Среди всех многочленов степени $\leq n$, полином $g$ минимизирует равномерную норму разности $\|f-g\|_{\infty }$ тогда и только тогда, когда существуют $n+2$ очки $a\leq x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n+1}\leq b$ такой, что $f(x_{i})-g(x_{i})=\sigma (-1)^{i}\|f-g\|_{\infty }$ где $\sigma$ либо -1, либо +1.

Варианты

Теорема об равноколебании справедлива и при замене многочленов рациональными функциями: среди всех рациональных функций, числитель которых имеет степень $\leq n$ и знаменатель имеет степень $\leq m$, рациональная функция $g=p/q$, с $p$ и $q$ являющиеся относительно простыми многочленами степени $n-\nu$ и $m-\mu$, минимизирует равномерную норму разности $\|f-g\|_{\infty }$ тогда и только тогда, когда существуют $m+n+2-\min\{\mu ,\nu \}$ очки $a\leq x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n+1}\leq b$ такой, что $f(x_{i})-g(x_{i})=\sigma (-1)^{i}\|f-g\|_{\infty }$ где $\sigma$ либо -1, либо +1.

Алгоритмы

несколько алгоритмов минимаксной аппроксимации Доступно , наиболее распространенным из которых является алгоритм Ремеза .

Внешние ссылки

• Заметки о том, как доказать теорему Чебышева об эквиколебаниях в Wayback Machine (архивировано 2 июля 2011 г.)
• Теорема Чебышева об эквиколебаниях Роберта Майанса
• Теорема де ла Валле-Пуссена об чередовании в Энциклопедии математики
• Теория приближения Ремко Блюмена