Полином Диксона

В математике полиномы Диксона , обозначаемые D _n ( x , α ) , образуют полиномиальную последовательность , введенную Л. Е. Диксоном ( 1897 ). Они были заново открыты Брюером (1961) в его исследовании сумм Брюера и иногда, хотя и редко, назывались полиномами Брюера .

Над комплексными числами полиномы Диксона по существу эквивалентны полиномам Чебышева с заменой переменной, и фактически полиномы Диксона иногда называют полиномами Чебышева.

Полиномы Диксона обычно изучаются над конечными полями , где они иногда могут быть не эквивалентны полиномам Чебышева. Одна из основных причин интереса к ним состоит в том, что при фиксированном α они дают множество примеров полиномов перестановок ; полиномы, действующие как перестановки конечных полей.

Определение

Первый вид

Для целого числа n > 0 и α в коммутативном кольце R с единицей (часто выбираемом в качестве конечного поля F _q = GF( q ) ) полиномы Диксона (первого рода) над R задаются формулой

$D_{n}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {n}{n-i}}{\binom {n-i}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}\,.$

Первые несколько полиномов Диксона:

${\begin{aligned}D_{1}(x,\alpha )&=x\\D_{2}(x,\alpha )&=x^{2}-2\alpha \\D_{3}(x,\alpha )&=x^{3}-3x\alpha \\D_{4}(x,\alpha )&=x^{4}-4x^{2}\alpha +2\alpha ^{2}\\D_{5}(x,\alpha )&=x^{5}-5x^{3}\alpha +5x\alpha ^{2}\,.\end{aligned}}$

Они также могут быть порождены рекуррентным соотношением для n ≥ 2 ,

$D_{n}(x,\alpha )=xD_{n-1}(x,\alpha )-\alpha D_{n-2}(x,\alpha )\,,$

с начальными условиями D ₀ ( Икс , α ) = 2 и D ₁ ( Икс , α ) = Икс .

Коэффициенты приведены в нескольких местах OEIS. с незначительными различиями для первых двух семестров.

Второй вид

второго рода, En _{Полиномы Диксона} ( x , α ) , определяются формулой

$E_{n}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n-i}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}.$

Они мало изучены и обладают свойствами, аналогичными свойствам полиномов Диксона первого рода.Первые несколько полиномов Диксона второго рода равны

${\begin{aligned}E_{0}(x,\alpha )&=1\\E_{1}(x,\alpha )&=x\\E_{2}(x,\alpha )&=x^{2}-\alpha \\E_{3}(x,\alpha )&=x^{3}-2x\alpha \\E_{4}(x,\alpha )&=x^{4}-3x^{2}\alpha +\alpha ^{2}\,.\end{aligned}}$

Они также могут быть порождены рекуррентным соотношением для n ≥ 2 ,

$E_{n}(x,\alpha )=xE_{n-1}(x,\alpha )-\alpha E_{n-2}(x,\alpha )\,,$

с начальными условиями E ₀ ( x , α ) = 1 и E ₁ ( x , α ) = x .

Коэффициенты также приведены в OEIS.

Свойства

D — _n это уникальные монические многочлены, удовлетворяющие функциональному уравнению

$D_{n}\left(u+{\frac {\alpha }{u}},\alpha \right)=u^{n}+\left({\frac {\alpha }{u}}\right)^{n},$

где α ∈ F _q и u ≠ 0 ∈ F _{q ²} .

Они также удовлетворяют правилу композиции:

$D_{mn}(x,\alpha )=D_{m}{\bigl (}D_{n}(x,\alpha ),\alpha ^{n}{\bigr )}\,=D_{n}{\bigl (}D_{m}(x,\alpha ),\alpha ^{m}{\bigr )}\,.$

En также _{уравнению} удовлетворяет функциональному

$E_{n}\left(y+{\frac {\alpha }{y}},\alpha \right)={\frac {y^{n+1}-\left({\frac {\alpha }{y}}\right)^{n+1}}{y-{\frac {\alpha }{y}}}}\,,$

для y ≠ 0 , y ² ≠ α , где α ∈ F _q и y ∈ F _{q ²} .

Полином Диксона y = D _n является решением обыкновенного дифференциального уравнения

$\left(x^{2}-4\alpha \right)y''+xy'-n^{2}y=0\,,$

а полином Диксона y = En _{является} решением дифференциального уравнения

$\left(x^{2}-4\alpha \right)y''+3xy'-n(n+2)y=0\,.$

Их обычные производящие функции :

${\begin{aligned}\sum _{n}D_{n}(x,\alpha )z^{n}&={\frac {2-xz}{1-xz+\alpha z^{2}}}\\\sum _{n}E_{n}(x,\alpha )z^{n}&={\frac {1}{1-xz+\alpha z^{2}}}\,.\end{aligned}}$

Ссылки на другие полиномы

Согласно приведенному выше рекуррентному соотношению, полиномы Диксона являются последовательностями Люка . В частности, для α = −1 полиномы Диксона первого рода являются полиномами Фибоначчи , а полиномы Диксона второго рода являются полиномами Люка .

Согласно приведенному выше правилу композиции, когда α идемпотентна , композиция полиномов Диксона первого рода коммутативна.

• Полиномы Диксона с параметром α = 0 дают мономы .

$D_{n}(x,0)=x^{n}\,.$

• Полиномы Диксона с параметром α = 1 связаны с полиномами Чебышева T _n ( x ) = cos ( n arccos x ) первого рода соотношением

$D_{n}(2x,1)=2T_{n}(x)\,.$

• Поскольку полином Диксона D _n ( x , α ) может быть определен над кольцами с дополнительными идемпотентами, D _n ( x , α ) часто не связан с полиномом Чебышева.

Полиномы перестановок

Полином перестановки (для данного конечного поля) - это тот, который действует как перестановка элементов конечного поля.

Полином Диксона D _n ( x , α) (рассматриваемый как функция от x при фиксированном α) является полиномом перестановки для поля с q элементами тогда и только тогда, когда n взаимно просто с q ² − 1 .

Фрид (1970) доказал, что любой целочисленный многочлен, который является многочленом перестановки для бесконечного числа простых полей, представляет собой композицию многочленов Диксона и линейных многочленов (с рациональными коэффициентами). Это утверждение стало известно как гипотеза Шура, хотя на самом деле Шур не выдвигал этой гипотезы. дал исправленную версию Поскольку статья Фрида содержала множество ошибок, Тернвальд (1995) , а впоследствии Мюллер (1997) дал более простое доказательство в духе аргумента Шура.

Кроме того, Мюллер (1997) доказал, что любой полином перестановки над конечным полем F _q , степень которого одновременно взаимно проста с q и меньше q ^{1 / 4} должен быть композицией полиномов Диксона и линейных полиномов.

Обобщение

Полиномы Диксона обоих видов над конечными полями можно рассматривать как начальные члены последовательности обобщенных полиномов Диксона, называемых полиномами Диксона ( k + 1) -го рода. В частности, для α ≠ 0 ∈ F _q с q = p ^и для некоторого простого числа p и любых целых чисел n ≥ 0 и 0 ≤ k < p - й n многочлен Диксона ( k + 1) -го рода над F _q , обозначаемый D _{n , k} ( x , α ) , определяется выражением

$D_{0,k}(x,\alpha )=2-k$

и

$D_{n,k}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {n-ki}{n-i}}{\binom {n-i}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}\,.$

D _{n ,0} ( x , α ) = D _n ( x , α ) и D _{n ,1} ( x , α ) = E _n ( x , α ) , показывая, что это определение унифицирует и обобщает исходные полиномы Диксона.

Важные свойства полиномов Диксона также обобщают:

• Рекуррентное соотношение : Для n ≥ 2 ,

$D_{n,k}(x,\alpha )=xD_{n-1,k}(x,\alpha )-\alpha D_{n-2,k}(x,\alpha )\,,$

с начальными условиями D _{0, k} ( x , α ) знак равно 2 - k и D _{1, k} ( x , α ) = x .

• Функциональное уравнение :

$D_{n,k}\left(y+\alpha y^{-1},\alpha \right)={\frac {y^{2n}+k\alpha y^{2n-2}+\cdots +k\alpha ^{n-1}y^{2}+\alpha ^{n}}{y^{n}}}={\frac {y^{2n}+{\alpha }^{n}}{y^{n}}}+\left({\frac {k\alpha }{y^{n}}}\right){\frac {y^{2n}-{\alpha }^{n-1}y^{2}}{y^{2}-\alpha }}\,,$

где y ≠ 0 , y ² ≠ а .

• Генерирующая функция :

$\sum _{n=0}^{\infty }D_{n,k}(x,\alpha )z^{n}={\frac {2-k+(k-1)xz}{1-xz+\alpha z^{2}}}\,.$

Ссылки

• Брюэр, BW (1961), «О некоторых суммах символов», Transactions of the American Mathematical Society , 99 (2): 241–245, doi : 10.2307/1993392 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1993392 , MR   0120202 , Zbl   0103.03205
• Диксон, Л.Е. (1897). «Аналитическое представление замен в степени простого числа букв с обсуждением линейной группы I,II». Энн. математики . 11 (1/6). Анналы математики: 65–120, 161–183. дои : 10.2307/1967217 . hdl : 2027/uiuo.ark:/13960/t4zh9cw1v . ISSN   0003-486X . ЖФМ   28.0135.03 . JSTOR   1967217 .
• Фрид, Майкл (1970). «О догадке Шура» . Мичиганская математика. Дж . 17 : 41–55. дои : 10.1307/mmj/1029000374 . ISSN   0026-2285 . МР   0257033 . Збл   0169.37702 .
• Лидл, Р.; Маллен, Г.Л.; Тернвальд, Г. (1993). Полиномы Диксона . Монографии и обзоры Питмана по чистой и прикладной математике. Том. 65. Лонгман научно-технический, Харлоу; опубликовано совместно с John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк, в США. ISBN  978-0-582-09119-1 . МР   1237403 . Збл   0823.11070 .
• Лидл, Рудольф; Нидеррайтер, Харальд (1983). Конечные поля . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 20 (1-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN  978-0-201-13519-0 . Збл   0866.11069 .
• Маллен, Гэри Л. (2001) [1994], «Полиномы Диксона» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Маллен, Гэри Л.; Панарио, Дэниел (2013), Справочник по конечным полям , CRC Press, ISBN  978-1-4398-7378-6
• Мюллер, Питер (1997). «Свободное доказательство гипотезы Шура, связанное с Вейлем» . Конечные поля и их приложения . 3 : 25–32. дои : 10.1006/ffta.1996.0170 . Збл   0904.11040 .
• Рассиас, Термистокл М.; Шривастава, HM; Янушаускас, А. (1991). Темы в полиномах одной и нескольких переменных и их приложениях: наследие П.Л.Чебышева . Всемирная научная. стр. 371–395. ISBN  978-981-02-0614-7 .
• Турнвальд, Герхард (1995). «О гипотезе Шура» . Дж. Аустрал. Математика. Соц. Сер. А. ​ 58 (3): 312–357. дои : 10.1017/S1446788700038349 . МР   1329867 . Збл   0834.11052 .
• Янг, Пол Томас (2002). «О модифицированных полиномах Диксона» (PDF) . Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 40 (1): 33–40.
• Баяд, Абдельмеджид; Кангул, Исмаил Наси (2012). «Минимальный полином 2 cos (pi/q) и полиномы Диксона». Прил. Математика. Комп . 218 : 7014–7022. дои : 10.1016/j.amc.2011.12.044 .