Полиномы Фибоначчи

В математике полиномы Фибоначчи представляют собой полиномиальную последовательность , которую можно рассматривать как обобщение чисел Фибоначчи . Полиномы, генерируемые аналогичным образом из чисел Люка, называются полиномами Люка .

Определение

Эти полиномы Фибоначчи определяются рекуррентным соотношением :

$F_{n}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n=0\\1,&{\mbox{if }}n=1\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 2\end{cases}}$

Полиномы Люкаса используют одну и ту же повторяемость с разными начальными значениями:

$L_{n}(x)={\begin{cases}2,&{\mbox{if }}n=0\\x,&{\mbox{if }}n=1\\xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 2.\end{cases}}$

Их можно определить для отрицательных индексов по формуле

$F_{-n}(x)=(-1)^{n-1}F_{n}(x),$

$L_{-n}(x)=(-1)^{n}L_{n}(x).$

Полиномы Фибоначчи образуют последовательность ортогональных полиномов с $A_{n}=C_{n}=1$ и $B_{n}=0$.

Примеры

Первые несколько полиномов Фибоначчи:

$F_{0}(x)=0\,$

$F_{1}(x)=1\,$

$F_{2}(x)=x\,$

$F_{3}(x)=x^{2}+1\,$

$F_{4}(x)=x^{3}+2x\,$

$F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1\,$

$F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x\,$

Первые несколько полиномов Люка:

$L_{0}(x)=2\,$

$L_{1}(x)=x\,$

$L_{2}(x)=x^{2}+2\,$

$L_{3}(x)=x^{3}+3x\,$

$L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,$

$L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,$

$L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2.\,$

Характеристики

• Степень Fn _{1 ,} равна n а степень Ln ₋ равна n .

• Числа Фибоначчи и Люка восстанавливаются путем оценки полиномов при x = 1; Числа Пелла восстанавливаются путем оценки F _n при x = 2.

• Обычными производящими функциями для последовательностей являются:

  $\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}$

  $\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x)t^{n}={\frac {2-xt}{1-xt-t^{2}}}.$

• Полиномы можно выразить через последовательности Люка как

  $F_{n}(x)=U_{n}(x,-1),\,$

  $L_{n}(x)=V_{n}(x,-1).\,$

• Их также можно выразить через полиномы Чебышева. ${\mathcal {T}}_{n}(x)$ и ${\mathcal {U}}_{n}(x)$ как

  $F_{n}(x)=i^{n-1}\cdot {\mathcal {U}}_{n-1}({\tfrac {-ix}{2}}),\,$

  $L_{n}(x)=2\cdot i^{n}\cdot {\mathcal {T}}_{n}({\tfrac {-ix}{2}}),\,$

где $i$ это мнимая единица .

Личности

Основная статья: последовательность Лукаса

Как частные случаи последовательностей Люка, полиномы Фибоначчи удовлетворяют ряду тождеств, таких как

$F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_{n}(x)+F_{m}(x)F_{n-1}(x)\,$

$L_{m+n}(x)=L_{m}(x)L_{n}(x)-(-1)^{n}L_{m-n}(x)\,$

$F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)-F_{n}(x)^{2}=(-1)^{n}\,$

$F_{2n}(x)=F_{n}(x)L_{n}(x).\,$

Выражения закрытой формы, аналогичные формуле Бине:

$F_{n}(x)={\frac {\alpha (x)^{n}-\beta (x)^{n}}{\alpha (x)-\beta (x)}},\,L_{n}(x)=\alpha (x)^{n}+\beta (x)^{n},$

где

$\alpha (x)={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}},\,\beta (x)={\frac {x-{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}}$

являются решениями (по t ) задачи

$t^{2}-xt-1=0.\,$

Для полиномов Люка n > 0 мы имеем

$L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {n}{n-k}}{\binom {n-k}{k}}x^{n-2k}.$

Связь между полиномами Фибоначчи и стандартными базисными полиномами определяется выражением

$x^{n}=F_{n+1}(x)+\sum _{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}\left[{\binom {n}{k}}-{\binom {n}{k-1}}\right]F_{n+1-2k}(x).$

Например,

$x^{4}=F_{5}(x)-3F_{3}(x)+2F_{1}(x)\,$

$x^{5}=F_{6}(x)-4F_{4}(x)+5F_{2}(x)\,$

$x^{6}=F_{7}(x)-5F_{5}(x)+9F_{3}(x)-5F_{1}(x)\,$

$x^{7}=F_{8}(x)-6F_{6}(x)+14F_{4}(x)-14F_{2}(x)\,$

Комбинаторная интерпретация

Коэффициенты полиномов Фибоначчи можно считать из выровненного слева треугольника Паскаля, следующего по диагоналям (показаны красным). Суммы коэффициентов представляют собой числа Фибоначчи.

Если F ( n , k ) коэффициент при x ^к в Fn _именно ( x ), а

$F_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}F(n,k)x^{k},\,$

тогда F ( n , k ) — это количество способов, которыми прямоугольник размером n −1 на 1 можно замостить доминошками 2 на 1 и квадратами 1 на 1 так, чтобы ровно k квадратов. было использовано Эквивалентно, F ( n , k ) — это количество способов записи n −1 в виде упорядоченной суммы , включающей только 1 и 2, так что 1 используется ровно k раз. Например, F(6,3)=4 и 5 можно записать 4 способами: 1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1, 2+1+1+1. , как сумма, включающая только 1 и 2, причем 1 используется 3 раза. Подсчитав, сколько раз 1 и 2 используются в такой сумме, становится очевидным, что $F(n,k)={\begin{cases}\displaystyle {\binom {{\frac {1}{2}}(n+k-1)}{k}}&{\text{if }}n\not \equiv k{\pmod {2}},\\[12pt]0&{\text{else}}.\end{cases}}$

Это дает возможность прочитать коэффициенты треугольника Паскаля , как показано справа.

Ссылки

• Бенджамин, Артур Т .; Куинн, Дженнифер Дж. (2003). «Полином Фибоначчи и Лукаса». Доказательства, которые действительно имеют значение: искусство комбинаторного доказательства . Математические изложения Дольчиани. Том. 27. Математическая ассоциация Америки . п. 141 . ISBN  978-0-88385-333-7 .
• Филиппу, Андреас Н. (2001) [1994], «Полиномы Фибоначчи» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Филиппу, Андреас Н. (2001) [1994], «Полиномы Лукаса» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Лукаса» . Математический мир .
• Джин, З. О полиномах Лукаса и некоторых их новых тождествах. Достижения в области дифференциальных уравнений 2018, 126 (2018). https://doi.org/10.1186/s13662-018-1527-9

Дальнейшее чтение

• Хоггатт, Вирджиния ; Бикнелл, Марджори (1973). «Корни полиномов Фибоначчи». Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 11 : 271–274. ISSN   0015-0517 . МР   0332645 .
• Хоггатт, Вирджиния; Лонг, Кэлвин Т. (1974). «Свойства делимости обобщенных полиномов Фибоначчи». Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 12 :113. МР   0352034 .
• Риччи, Паоло Эмилио (1995). «Обобщенные полиномы Люка и полиномы Фибоначчи». Математический журнал Пармского университета . См. Сер. 4 :137–146. МР   1395332 .
• Юань, И; Чжан, Вэньпэн (2002). «Некоторые тождества, связанные с полиномами Фибоначчи». Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 40 (4): 314. МР   1920571 .
• Циглер, Иоганн (2003). «q-полиномы Фибоначчи». Ежеквартальный журнал Фибоначчи (41): 31–40. МР   1962279 .

Внешние ссылки

• Последовательность OEIS A162515 (Треугольник коэффициентов полиномов, определенных формой Бине)
• Последовательность OEIS A011973 (Треугольник коэффициентов полиномов Фибоначчи)