число Лукаса

Не путать с последовательностями Люка , общим классом последовательностей, к которым принадлежат числа Люка.

Спираль Люка, состоящая из четвертей дуги , является хорошим приближением золотой спирали, когда ее члены большие. Однако когда ее члены становятся очень маленькими, радиус дуги быстро уменьшается с 3 до 1, а затем увеличивается с 1 до 2.

Последовательность Люка — это целочисленная последовательность, названная в честь математика Франсуа Эдуара Анатоля Лукаса (1842–1891), который изучал как эту последовательность , так и близкородственную ей последовательность Фибоначчи . Отдельные числа в последовательности Люка известны как числа Люка . Числа Люка и числа Фибоначчи образуют дополнительные экземпляры последовательностей Люка .

Последовательность Лукаса имеет те же рекурсивные отношения , что и последовательность Фибоначчи, где каждый член представляет собой сумму двух предыдущих членов, но с разными начальными значениями. Это создает последовательность, в которой отношения последовательных членов приближаются к золотому сечению , и фактически сами члены являются округлениями целых степеней золотого сечения. Последовательность также имеет множество отношений с числами Фибоначчи, например, тот факт, что добавление любых двух чисел Фибоначчи на два члена в последовательности Фибоначчи приводит к образованию числа Люка между ними.

Первые несколько чисел Лукаса

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, ... . (последовательность A000032 в OEIS )

что совпадает, например, с количеством независимых наборов вершин циклических графов $C_{n}$ длины $n\geq 2$.

Определение

Как и в случае с числами Фибоначчи, каждое число Люка определяется как сумма двух непосредственно предшествующих ему членов, тем самым образуя целочисленную последовательность Фибоначчи . Первые два числа Люка $L_{0}=2$ и $L_{1}=1$, который отличается от первых двух чисел Фибоначчи $F_{0}=0$ и $F_{1}=1$. Хотя числа Лукаса и Фибоначчи тесно связаны по определению, они обладают разными свойствами.

Таким образом, числа Люка можно определить следующим образом:

$L_{n}:={\begin{cases}2&{\text{if }}n=0;\\1&{\text{if }}n=1;\\L_{n-1}+L_{n-2}&{\text{if }}n>1.\end{cases}}$

(где n принадлежит натуральным числам )

Все целочисленные последовательности типа Фибоначчи появляются в сдвинутой форме как строка массива Витхоффа ; сама последовательность Фибоначчи является первой строкой, а последовательность Люка — второй строкой. Также, как и все целочисленные последовательности типа Фибоначчи, соотношение между двумя последовательными числами Люка сходится к золотому сечению .

Расширение до отрицательных целых чисел

С использованием $L_{n-2}=L_{n}-L_{n-1}$, можно расширить числа Люка до отрицательных целых чисел, чтобы получить вдвойне бесконечную последовательность:

..., −11, 7, −4, 3, −1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... (члены $L_{n}$ для $-5\leq {}n\leq 5$ показаны).

Формула для членов с отрицательными индексами в этой последовательности:

$L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.\!$

Связь с числами Фибоначчи

Первая идентичность, выраженная визуально

Числа Люка связаны с числами Фибоначчи многими тождествами . Среди них следующие:

• $L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}=2F_{n+1}-F_{n}$
• $L_{m+n}=L_{m+1}F_{n}+L_{m}F_{n-1}$
• $F_{2n}=L_{n}F_{n}$
• $F_{n+k}+(-1)^{k}F_{n-k}=L_{k}F_{n}$
• $2F_{2n+k}=L_{n}F_{n+k}+L_{n+k}F_{n}$
• $L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}$, так $\lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}$.
• $\vert L_{n}-{\sqrt {5}}F_{n}\vert ={\frac {2}{\varphi ^{n}}}\to 0$
• $L_{n+k}-(-1)^{k}L_{n-k}=5F_{n}F_{k}$; в частности, $F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}$, так $5F_{n}+L_{n}=2L_{n+1}$.

Их закрытая формула имеет вид:

$L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,,$

где $\varphi$ это золотое сечение . Альтернативно, что касается $n>1$ величина термина $(-\varphi )^{-n}$ меньше 1/2, $L_{n}$ является ближайшим целым числом к $\varphi ^{n}$ или, что то же самое, целая часть $\varphi ^{n}+1/2$, также записанный как $\lfloor \varphi ^{n}+1/2\rfloor$.

Объединив вышеизложенное с формулой Бине ,

$F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}\,,$

формула для $\varphi ^{n}$ получается:

$\varphi ^{n}={{L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}} \over 2}\,.$

Для целых чисел n ≥ 2 мы также получаем:

$\varphi ^{n}=L_{n}-(-\varphi )^{-n}=L_{n}-(-1)^{n}L_{n}^{-1}-L_{n}^{-3}+R$

с остатком R, удовлетворяющим

$\vert R\vert <3L_{n}^{-5}$.

Личности Лукаса

Многие тождества Фибоначчи имеют параллели в числах Лукаса. Например, тождество Кассини становится

$L_{n}^{2}-L_{n-1}L_{n+1}=(-1)^{n}5$

Также

$\sum _{k=0}^{n}L_{k}=L_{n+2}-1$

$\sum _{k=0}^{n}L_{k}^{2}=L_{n}L_{n+1}+2$

$2L_{n-1}^{2}+L_{n}^{2}=L_{2n+1}+5F_{n-2}^{2}$

где $\textstyle F_{n}={\frac {L_{n-1}+L_{n+1}}{5}}$.

$L_{n}^{k}=\sum _{j=0}^{\lfloor {\frac {k}{2}}\rfloor }(-1)^{nj}{\binom {k}{j}}L'_{(k-2j)n}$

где $L'_{n}=L_{n}$ за исключением $L'_{0}=1$.

Например если n нечетное , , $L_{n}^{3}=L'_{3n}-3L'_{n}$ и $L_{n}^{4}=L'_{4n}-4L'_{2n}+6L'_{0}$

Проверка, $L_{3}=4,4^{3}=64=76-3(4)$, и $256=322-4(18)+6$

Генерирующая функция

Позволять

$\Phi (x)=2+x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n}$

— производящая функция чисел Люка. Путём прямого вычисления,

${\begin{aligned}\Phi (x)&=L_{0}+L_{1}x+\sum _{n=2}^{\infty }L_{n}x^{n}\\&=2+x+\sum _{n=2}^{\infty }(L_{n-1}+L_{n-2})x^{n}\\&=2+x+\sum _{n=1}^{\infty }L_{n}x^{n+1}+\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n+2}\\&=2+x+x(\Phi (x)-2)+x^{2}\Phi (x)\end{aligned}}$

который можно переставить как

$\Phi (x)={\frac {2-x}{1-x-x^{2}}}$

$\Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)$ дает производящую функцию для отрицательных индексированных чисел Люка , $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}L_{n}x^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }L_{-n}x^{-n}$, и

$\Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)={\frac {x+2x^{2}}{1-x-x^{2}}}$

$\Phi (x)$ удовлетворяет функциональному уравнению

$\Phi (x)-\Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)=2$

Поскольку производящая функция чисел Фибоначчи определяется выражением

$s(x)={\frac {x}{1-x-x^{2}}}$

у нас есть

$s(x)+\Phi (x)={\frac {2}{1-x-x^{2}}}$

что доказывает , что

$F_{n}+L_{n}=2F_{n+1},$

и

$5s(x)+\Phi (x)={\frac {2}{x}}\Phi (-{\frac {1}{x}})=2{\frac {1}{1-x-x^{2}}}+4{\frac {x}{1-x-x^{2}}}$

доказывает, что

$5F_{n}+L_{n}=2L_{n+1}$

Разложение на частичные дроби определяется выражением

$\Phi (x)={\frac {1}{1-\phi x}}+{\frac {1}{1-\psi x}}$

где $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ это золотое сечение и $\psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$ является его сопряжением .

Это можно использовать для доказательства производящей функции, так как

$\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(\phi ^{n}+\psi ^{n})x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\phi ^{n}x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }\psi ^{n}x^{n}={\frac {1}{1-\phi x}}+{\frac {1}{1-\psi x}}=\Phi (x)$

Отношения конгруэнтности

Если $F_{n}\geq 5$ является числом Фибоначчи, то ни одно число Люка не делится на $F_{n}$.

$L_{n}$ конгруэнтно 1 по модулю $n$ если $n$ является простым , но некоторые составные значения $n$ тоже есть это свойство. Это псевдопростые числа Фибоначчи .

$L_{n}-L_{n-4}$ конгруэнтно 0 по модулю 5.

Лукас простые числа

Простое число Люка — это число Люка, которое является простым . Первые несколько простых чисел Лукаса равны

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ... (последовательность A005479 в OEIS ).

Индексы этих простых чисел (например, L ₄ = 7)

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, ... (последовательность A001606 в OEIS ).

По состоянию на сентябрь 2015 г. , самое большое подтвержденное простое число Люкаса — L ₁₄₈₀₉₁ , которое имеет 30950 десятичных цифр. По состоянию на август 2022 г. , самое большое известное вероятное простое число Люка — L _5466311 с 1 142 392 десятичными цифрами.

Если L _n простое число, то n равно 0, простому числу или степени 2 . L_{Л2 ^м} является простым для m = 1, 2, 3 и 4 и других известных значений m .

Полиномы Люка

Точно так же, как полиномы Фибоначчи получаются из чисел Фибоначчи , полиномы Люка $L_{n}(x)$ представляют собой полиномиальную последовательность, полученную из чисел Люка.

Цепные дроби для степеней золотого сечения.

Близкие рациональные приближения для степеней золотого сечения можно получить из их непрерывных дробей .

Для положительных целых чисел n непрерывными дробями являются:

$\varphi ^{2n-1}=[L_{2n-1};L_{2n-1},L_{2n-1},L_{2n-1},\ldots ]$

$\varphi ^{2n}=[L_{2n}-1;1,L_{2n}-2,1,L_{2n}-2,1,L_{2n}-2,1,\ldots ]$.

Например:

$\varphi ^{5}=[11;11,11,11,\ldots ]$

это предел

${\frac {11}{1}},{\frac {122}{11}},{\frac {1353}{122}},{\frac {15005}{1353}},\ldots$

при этом ошибка в каждом члене составляет около 1% от ошибки в предыдущем члене; и

$\varphi ^{6}=[18-1;1,18-2,1,18-2,1,18-2,1,\ldots ]=[17;1,16,1,16,1,16,1,\ldots ]$

это предел

${\frac {17}{1}},{\frac {18}{1}},{\frac {305}{17}},{\frac {323}{18}},{\frac {5473}{305}},{\frac {5796}{323}},{\frac {98209}{5473}},{\frac {104005}{5796}},\ldots$

при этом ошибка в каждом члене составляет около 0,3% от ошибки второго предыдущего члена.

Приложения

числа Люка являются вторым по распространенности закономерностью в подсолнечниках после чисел Фибоначчи, когда подсчитываются спирали по часовой стрелке и против часовой стрелки. Согласно анализу 657 подсолнухов, проведенному в 2016 году,

См. также

• Обобщения чисел Фибоначчи

Внешние ссылки

• «Полиномы Лукаса» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Число Лукаса» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Лукаса» . Математический мир .
• « Числа Лукаса », доктор Рон Нотт
• Числа Лукаса и золотое сечение
• Калькулятор чисел Лукаса можно найти здесь.
• Последовательность OEIS A000032 (номера Лукаса начинаются с 2)