Кассини и каталонская идентичность

Тождество Кассини (иногда называемое тождеством Симсона ) и тождество Каталана являются математическими тождествами чисел Фибоначчи . Тождество Кассини , частный случай тождества Каталана , утверждает, что для n- го числа Фибоначчи

F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}.

Обратите внимание здесь $F_{0}$ принимается равным 0, а $F_{1}$ принимается равным 1.

Каталонская идентичность обобщает это:

F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2}.

Личность Вайды обобщает это:

F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}.

История

Формула Кассини была открыта в 1680 году Джованни Доменико Кассини , тогдашним директором Парижской обсерватории, и независимо доказана Робертом Симсоном (1753). ^[1] Однако Иоганн Кеплер предположительно знал это имя уже в 1608 году. ^[2]

Личность каталонца названа в честь Эжена Каталана (1814–1894). Его можно найти в одной из его частных исследовательских заметок, озаглавленной «Sur la série de Lamé», датированной октябрем 1879 года. Однако это имя не появлялось в печати до декабря 1886 года как часть его собрания сочинений ( Catalan 1886 ). Это объясняет, почему некоторые называют 1879 год, а другие 1886 год датой каталонской идентичности ( Tuenter 2022 , стр. 314).

Венгерско-британский математик Стивен Вайда (1901–95) опубликовал книгу о числах Фибоначчи ( «Числа Фибоначчи и Лукаса и Золотое сечение: теория и приложения» , 1989), в которой содержится тождество, носящее его имя. ^[3]^[4] Однако это тождество было опубликовано ранее в 1960 году Дастаном Эверманом как задача 1396 в The American Mathematical Monthly . ^[1] и в 1901 году Альберто Таджури в Periodico di Matematica . ^[5]

Доказательство личности Кассини

Доказательство с помощью теории матриц.

Быстрое доказательство тождественности Кассини можно дать ( Кнут 1997 , стр. 81), если признать левую часть уравнения определителем 2 ×2 матрицы чисел Фибоначчи . Результат почти немедленен, если рассматривать матрицу как $n$ -ю степень матрицы с определителем -1:

F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\det \left[{\begin{matrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{matrix}}\right]=\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]^{n}=\left(\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]\right)^{n}=(-1)^{n}.

Доказательство по индукции

Рассмотрим утверждение индукции:

F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}

Базовый случай $n=1$ это правда.

Предположим, что утверждение верно для $n$ . Затем:

F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}+F_{n}F_{n+1}-F_{n}F_{n+1}=(-1)^{n}

F_{n-1}F_{n+1}+F_{n}F_{n+1}-F_{n}^{2}-F_{n}F_{n+1}=(-1)^{n}

F_{n+1}(F_{n-1}+F_{n})-F_{n}(F_{n}+F_{n+1})=(-1)^{n}

F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}=(-1)^{n}

F_{n}F_{n+2}-F_{n+1}^{2}=(-1)^{n+1}

поэтому утверждение верно для всех целых чисел $n>0$ .

Доказательство каталонской идентичности

Воспользуемся формулой Бине , согласно которой $F_{n}={\frac {\phi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}$ , где $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ и $\psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$ .

Следовательно, $\phi +\psi =1$ и $\phi \psi =-1$ .

Так,

5(F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r})

=(\phi ^{n}-\psi ^{n})^{2}-(\phi ^{n-r}-\psi ^{n-r})(\phi ^{n+r}-\psi ^{n+r})

=(\phi ^{2n}-2\phi ^{n}\psi ^{n}+\psi ^{2n})-(\phi ^{2n}-\phi ^{n}\psi ^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})+\psi ^{2n})

=-2\phi ^{n}\psi ^{n}+\phi ^{n}\psi ^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})

С использованием $\phi \psi =-1$ ,

=-(-1)^{n}2+(-1)^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})

и еще раз как $\phi ={\frac {-1}{\psi }}$ ,

=-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}(\psi ^{2r}+\phi ^{2r})

Лукаса Число $L_{n}$ определяется как $L_{n}=\phi ^{n}+\psi ^{n}$ , так

=-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}L_{2r}

Потому что $L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}$

=-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}(5F_{r}^{2}+2(-1)^{r})

=-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}2(-1)^{r}+(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}

=-(-1)^{n}2+(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}

=(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}

Отмена $5$ 's дает результат.

Примечания

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Томас Коши: Числа Фибоначчи и Люка с приложениями . Уайли, 2001 г., ISBN 9781118031315 , стр. 74–75, 83, 88.
^ Миодраг Петкович: Знаменитые загадки великих математиков . АМС, 2009, ISBN 9780821848142 , С. 30-31.
^ Дуглас Б. Уэст: Комбинаторная математика . Издательство Кембриджского университета, 2020, с. 61
^ Стивен Ваджа: Числа Фибоначчи и Лукаса и Золотое сечение: теория и приложения . Дувр, 2008 г., ISBN 978-0486462769 , с. 28 (оригинальная публикация 1989 г. в издательстве Ellis Horwood)
^ Альберто Таджури: Уравнение (3) в книге « О некоторых повторяющихся последовательностях с целыми и положительными членами» , Periodico di Matematica 16 (1901), стр. 1–12.

Ссылки

Каталонец, Эжен-Шарль (декабрь 1886 г.). «CLXXXIX. — О серии Ламе». Мемуары Королевского общества наук Льежа, вторая серия . 13 :319–321.
Кнут, Дональд Эрвин (1997), Искусство компьютерного программирования, Том 1: Фундаментальные алгоритмы , Искусство компьютерного программирования , том. 1 (3-е изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, ISBN 0-201-89683-4
Симсон, Р. (1753). «Объяснение неясного отрывка в комментарии Альбера Жирара к произведениям Саймона Стевина» . Философские труды Лондонского королевского общества . 48 : 368–376. дои : 10.1098/rstl.1753.0056 .
Тюэнтер, Ханс Дж. Х. (ноябрь 2022 г.). «Тождества суммирования Фибоначчи, возникающие из идентичности Каталонца». Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 60 (4): 312–319. МР 4539699 . Збл 1512.11025 .
Верман, М.; Зейлбергер, Д. (1986). «Биективное доказательство тождества Фибоначчи Кассини» . Дискретная математика . 58 (1): 109. дои : 10.1016/0012-365X(86)90194-9 . МР 0820846 .

Внешние ссылки

[Koshy-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Томас Коши: Числа Фибоначчи и Люка с приложениями . Уайли, 2001 г., ISBN 9781118031315 , стр. 74–75, 83, 88.

[2] Миодраг Петкович: Знаменитые загадки великих математиков . АМС, 2009, ISBN 9780821848142 , С. 30-31.

[West-3] Дуглас Б. Уэст: Комбинаторная математика . Издательство Кембриджского университета, 2020, с. 61

[4] Стивен Ваджа: Числа Фибоначчи и Лукаса и Золотое сечение: теория и приложения . Дувр, 2008 г., ISBN 978-0486462769 , с. 28 (оригинальная публикация 1989 г. в издательстве Ellis Horwood)

[Tagiuri-5] Альберто Таджури: Уравнение (3) в книге « О некоторых повторяющихся последовательностях с целыми и положительными членами» , Periodico di Matematica 16 (1901), стр. 1–12.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]