р -вывод

В математике , точнее, в дифференциальной алгебре , p -дифференцирование (для p — простое число ) на кольце R — это отображение R в R , которое удовлетворяет определенным условиям, изложенным непосредственно ниже. Понятие p -дифференцирования связано с понятием дифференцирования в дифференциальной алгебре.

Определение

Пусть p — простое число. p или производное Buium на -производное кольце $R$ это карта $\delta :R\to R$ который удовлетворяет следующему « правилу продукта »:

\delta _{p}(ab)=\delta _{p}(a)b^{p}+a^{p}\delta _{p}(b)+p\delta _{p}(a)\delta _{p}(b)

и «правило сумм»:

\delta _{p}(a+b)=\delta _{p}(a)+\delta _{p}(b)+{\frac {a^{p}+b^{p}-(a+b)^{p}}{p}},

а также

\delta _{p}(1)=0.

Обратите внимание, что в «правиле сумм» мы на самом деле не делим на p , поскольку все соответствующие биномиальные коэффициенты в числителе делятся на p , поэтому это определение применимо в случае, когда $R$ имеет p - кручение .

Связь с эндоморфизмами Фробениуса

Карта $\sigma :R\to R$ является лифтом эндоморфизма Фробениуса при условии, что $\sigma (x)=x^{p}{\pmod {pR}}$ . Примером такого подъема может служить карта Артина .

Если $(R,\delta )$ является кольцом с p -дифференцированием, то отображение $\sigma (x):=x^{p}+p\delta (x)$ определяет кольцевой эндоморфизм , который является подъемом эндоморфизма Фробениуса. Когда кольцо R не содержит p -кручения , соответствие является биекцией .