Длина модуля

В алгебре длина модуля над кольцом $R$ является обобщением размерности векторного пространства , которое измеряет его размер. ^[1] ^{стр. 153} Она определяется как длина самой длинной цепочки подмодулей . Для векторных пространств (модулей над полем) длина равна размерности. Если $R$ является алгеброй над полем $k$ , длина модуля равна не более чем его размерности как $k$ -векторное пространство.

В коммутативной алгебре и алгебраической геометрии — модуль над нетеровым коммутативным кольцом. $R$ может иметь конечную длину только тогда, когда модуль имеет нулевую размерность Крулля . Модули конечной длины — это конечно порожденные модули , но большинство конечно порожденных модулей имеют бесконечную длину. Модули конечной длины называются артиновыми модулями и являются фундаментальными для теории артиновых колец .

Степенью алгебраического многообразия внутри аффинного или проективного пространства называется длина координатного кольца нульмерного пересечения многообразия с общим линейным подпространством дополнительной размерности. В более общем смысле кратность пересечений нескольких многообразий определяется как длина координатного кольца нульмерного пересечения.

Определение

Длина модуля

Позволять $M$ быть (левым или правым) модулем над некоторым кольцом $R$ . Учитывая цепочку подмодулей $M$ формы

M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n},

один говорит, что $n$ это длина цепи. ^[1] Длина $M$ — наибольшая длина любой из его цепей. Если такой наибольшей длины не существует, мы говорим, что $M$ имеет бесконечную длину . Очевидно, что если длина цепочки равна длине модуля, то $M_{0}=0$ и $M_{n}=M.$

Длина кольца

Длина кольца $R$ — длина самой длинной цепочки идеалов ; то есть длина $R$ рассматривается как модуль над собой путем умножения слева. Напротив, Крулля размерность $R$ — длина самой длинной цепочки простых идеалов .

Характеристики

Конечная длина и конечные модули

Если $R$ -модуль $M$ имеет конечную длину, то оно конечно порождено . ^[2] Если R — поле, то верно и обратное.

Связь с артиновыми и нётеровыми модулями

Ан $R$ -модуль $M$ имеет конечную длину тогда и только тогда, когда он является одновременно нетеровым модулем и артиновым модулем. ^[1] (ср. теорему Хопкинса ). Поскольку все артиновы кольца нётеровы, это означает, что кольцо имеет конечную длину тогда и только тогда, когда оно артиново.

Поведение по отношению к коротким точным последовательностям

Предполагать $0\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow 0$ представляет собой короткую точную последовательность $R$ -модули. Тогда M имеет конечную длину тогда и только тогда, когда L и N имеют конечную длину, и мы имеем ${\text{length}}_{R}(M)={\text{length}}_{R}(L)+{\text{length}}_{R}(N)$ В частности, из него следует следующие два свойства

Прямая сумма двух модулей конечной длины имеет конечную длину
Подмодуль модуля конечной длины имеет конечную длину, и его длина меньше или равна его родительскому модулю.

Теорема Джордана – Гёльдера

Композиционная серия модуля M представляет собой цепочку вида

0=N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n}=M

такой, что

N_{i+1}/N_{i}{\text{ is simple for }}i=0,\dots ,n-1

Модуль M имеет конечную длину тогда и только тогда, когда он имеет (конечную) композиционную серию, и длина каждой такой композиционной серии равна длине M .

Примеры

Конечномерные векторные пространства

Любое конечномерное векторное пространство $V$ над полем $k$ имеет конечную длину. Учитывая основу $v_{1},\ldots ,v_{n}$ есть цепь $0\subset {\text{Span}}_{k}(v_{1})\subset {\text{Span}}_{k}(v_{1},v_{2})\subset \cdots \subset {\text{Span}}_{k}(v_{1},\ldots ,v_{n})=V$ который имеет длину $n$ . Оно максимально, поскольку для любой цепочки $V_{0}\subset \cdots \subset V_{m}$ размерность каждого включения увеличится как минимум $1$ . Поэтому его длина и размер совпадают.

Артиновы модули

Над базовым кольцом $R$ , артиновы модули образуют класс примеров конечных модулей. Фактически, эти примеры служат основным инструментом для определения порядка исчезновения в теории пересечений . ^[3]

Нулевой модуль

Нулевой модуль — единственный, имеющий длину 0.

Простые модули

Модули длиной 1 — это именно простые модули .

Артиновы модули над Z

Длина циклической группы $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ (рассматриваемый как модуль над целыми числами Z ) равен количеству простых множителей числа $n$ , при этом несколько простых множителей учитываются несколько раз. Это следует из того, что подмодули $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ находятся во взаимно однозначном соответствии с положительными делителями $n$ , это соответствие вытекает из того, что $\mathbb {Z}$ — кольцо главных идеалов .

Использование в теории множественности

Для нужд теории пересечений связанного Жан-Пьер Серр ввёл общее понятие кратности точки , как длины артинова локального кольца, с этой точкой.

Первым применением было полное определение кратности пересечений и, в частности, формулировка теоремы Безу , утверждающей, что сумма кратностей точек пересечения $n$ алгебраических гиперповерхностей в $n$ -мерном проективном пространстве либо бесконечна, либо равна в точности произведение степеней гиперповерхностей.

Это определение кратности является весьма общим и содержит в качестве частных случаев большинство предыдущих понятий алгебраической кратности.

Порядок исчезновения нулей и полюсов

Частным случаем этого общего определения кратности является порядок исчезновения ненулевой алгебраической функции. $f\in R(X)^{*}$ об алгебраическом многообразии. Учитывая алгебраическое многообразие $X$ и подразновидность $V$ коразмерности 1 ^[3] порядок исчезновения многочлена $f\in R(X)$ определяется как ^[4] $\operatorname {ord} _{V}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{V,X}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{V,X}}{(f)}}\right)$ где ${\mathcal {O}}_{V,X}$ — локальное кольцо, определяемое стеблем ${\mathcal {O}}_{X}$ по подразновидности $V$ ^[3] ^{страницы 426-227}или, что то же самое стебель , ${\mathcal {O}}_{X}$ в общей точке $V$ ^[5] ^{стр. 22}. Если $X$ является аффинным многообразием и $V$ определяется исчезающим локусом $V(f)$ , то существует изоморфизм ${\mathcal {O}}_{V,X}\cong R(X)_{(f)}$ Затем эту идею можно распространить на рациональные функции. $F=f/g$ о разнообразии $X$ где порядок определяется как ^[3] $\operatorname {ord} _{V}(F):=\operatorname {ord} _{V}(f)-\operatorname {ord} _{V}(g)$ что аналогично определению порядка нулей и полюсов в комплексном анализе .

Пример проективного многообразия

Например, рассмотрим проективную поверхность $Z(h)\subset \mathbb {P} ^{3}$ определяется полиномом $h\in k[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]$ , то порядок исчезновения рациональной функции $F={\frac {f}{g}}$ дается $\operatorname {ord} _{Z(h)}(F)=\operatorname {ord} _{Z(h)}(f)-\operatorname {ord} _{Z(h)}(g)$ где $\operatorname {ord} _{Z(h)}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(f)}}\right)$ Например, если $h=x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{2}^{3}$ и $f=x^{2}+y^{2}$ и $g=h^{2}(x_{0}+x_{1}-x_{3})$ затем $\operatorname {ord} _{Z(h)}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(x^{2}+y^{2})}}\right)=0$ с $x^{2}+y^{2}$ является единицей в местном кольце ${\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}$ . В другом случае $x_{0}+x_{1}-x_{3}$ является единицей, поэтому фактор-модуль изоморфен ${\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(h^{2})}}$ поэтому он имеет длину $2$ . Это можно найти, используя максимальную правильную последовательность $(0)\subset {\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(h)}}\subset {\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(h^{2})}}$

Ноль и полюса аналитической функции

Порядок исчезновения является обобщением порядка нулей и полюсов мероморфных функций в комплексном анализе . Например, функция ${\frac {(z-1)^{3}(z-2)}{(z-1)(z-4i)}}$ имеет нули порядка 2 и 1 в $1,2\in \mathbb {C}$ и полюс порядка $1$ в $4i\in \mathbb {C}$ . Такого рода информация может быть закодирована с использованием длины модулей. Например, установка $R(X)=\mathbb {C} [z]$ и $V=V(z-1)$ , существует связанное локальное кольцо ${\mathcal {O}}_{V,X}$ является $\mathbb {C} [z]_{(z-1)}$ и модуль фактора ${\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-4i)(z-1)^{2})}}$ Обратите внимание, что $z-4i$ является единицей, поэтому он изоморфен фактор-модулю ${\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-1)^{2})}}$ Его длина составляет $2$ поскольку существует максимальная цепь $(0)\subset {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-1))}}\subset {\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-1)^{2})}}}$ субмодулей. ^[6] В более общем смысле, используя теорему о факторизации Вейерштрасса, мероморфная функция факторизуется как $F={\frac {f}{g}}$ который представляет собой (возможно, бесконечное) произведение линейных многочленов как в числителе, так и в знаменателе.

См. также

Ряд Гильберта – Пуанкаре
Потому что делитель
Кольцо Чоу
Теория пересечений
Теорема факторизации Вейерштрасса
Гипотеза множественности Серра
Схема Гильберта – может использоваться для изучения модулей на схеме фиксированной длины.
Теорема Крулля – Шмидта

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с «Термин коммутативной алгебры» . www.centerofmathematics.com . стр. 153–158. Архивировано из оригинала 02 марта 2013 г. Проверено 22 мая 2020 г. Альтернативный URL
^ «Лемма 10.51.2 (02LZ) — Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 22 мая 2020 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Фултон, Уильям, 1939- (1998). Теория пересечений (2-е изд.). Берлин: Шпрингер. стр. 8–10. ISBN 3-540-62046-Х . OCLC 38048404 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
^ «Раздел 31.26 (0BE0): Делители Вейля — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 22 мая 2020 г.
^ Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 52. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. дои : 10.1007/978-1-4757-3849-0 . ISBN 978-1-4419-2807-8 . S2CID 197660097 .
^ «Раздел 10.120 (02 МБ): Порядки исчезновения — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 22 мая 2020 г.

Внешние ссылки

Стивен Х. Вайнтрауб, Теория представлений конечных групп AMS (2003) ISBN 0-8218-3222-0 , ISBN 978-0-8218-3222-6
Аллен Альтман, Стивен Клейман, Термин коммутативной алгебры .
Проект Стеки. Длина

[:0-1] Jump up to: ^а ^б ^с «Термин коммутативной алгебры» . www.centerofmathematics.com . стр. 153–158. Архивировано из оригинала 02 марта 2013 г. Проверено 22 мая 2020 г. Альтернативный URL

[2] «Лемма 10.51.2 (02LZ) — Проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 22 мая 2020 г.

[:1-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Фултон, Уильям, 1939- (1998). Теория пересечений (2-е изд.). Берлин: Шпрингер. стр. 8–10. ISBN 3-540-62046-Х . OCLC 38048404 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

[4] «Раздел 31.26 (0BE0): Делители Вейля — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 22 мая 2020 г.

[5] Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 52. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. дои : 10.1007/978-1-4757-3849-0 . ISBN 978-1-4419-2807-8 . S2CID 197660097 .

[6] «Раздел 10.120 (02 МБ): Порядки исчезновения — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 22 мая 2020 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]