Аффинная группа

В математике аффинная группа или общая аффинная группа любого аффинного пространства — это группа всех обратимых аффинных преобразований пространства в себя. В случае евклидова пространства (где ассоциированное поле скаляров представляет собой действительные числа ) аффинная группа состоит из тех функций из пространства в себя, что образ каждой строки является линией.

В любом поле аффинную группу можно естественным образом рассматривать как матричную группу. Если связанное поле скаляров является действительным или комплексным полем, то аффинная группа является группой Ли .

Отношение к общей линейной группе

Построение из общей линейной группы

Конкретно, учитывая векторное пространство $V$ , оно имеет базовое аффинное пространство $A,$ полученное путем «забывания» начала координат, при этом $действует$ посредством сдвигов, а аффинная группа $A$ может быть конкретно описана как полупрямое произведение V $V$ на $GL(V).$ , группа V $:$ общая линейная

\operatorname {Aff} (V)=V\rtimes \operatorname {GL} (V)

Действие $GL(V)$ на $V$ является естественным (линейные преобразования являются автоморфизмами), поэтому оно определяет полупрямое произведение .

В терминах матриц пишут:

\operatorname {Aff} (n,K)=K^{n}\rtimes \operatorname {GL} (n,K)

где здесь естественное действие $GL(n, K)$ на $K н$ это матричное умножение вектора.

Стабилизатор точки

Учитывая аффинную группу аффинного пространства $A$ , стабилизатор точки $p$ изоморфен полной линейной группе той же размерности (поэтому стабилизатор точки в $Aff(2, R)$ изоморфен $GL(2, R)$ ); формально это общая линейная группа векторного пространства $(A, p)$ : напомним, что если фиксировать точку, аффинное пространство становится векторным пространством.

Все эти подгруппы сопряжены, причем сопряжение задается переводом от $p$ к $q$ (что определяется однозначно), однако ни одна конкретная подгруппа не является естественным выбором, поскольку ни одна точка не является специальной - это соответствует множественному выбору трансверсальной подгруппы, или расщепление короткой точной последовательности

1\to V\to V\rtimes \operatorname {GL} (V)\to \operatorname {GL} (V)\to 1\,.

В случае, если аффинная группа была построена, начиная с векторного пространства, подгруппой, которая стабилизирует начало координат (векторного пространства), является исходная $GL(V)$ .

Матричное представление

Если представить аффинную группу как полупрямое произведение $V$ с помощью $GL(V)$ , то по построению полупрямого произведения элементы будут парами $(v, M)$ , где $v$ — вектор в $V$ , а $M$ — линейное преобразование в $GL(V)$ , а умножение определяется выражением

(v,M)\cdot (w,N)=(v+Mw,MN)\,.

Это можно представить как $(n + 1) \times (n + 1)$ блочную матрицу размера

\left({\begin{array}{c|c}M&v\\\hline 0&1\end{array}}\right)

где $M$ — $матрица размера n \times n$ над $K$ , $v —$ вектор $n \times 1$ -столбец размера $, 0 — строка нулей размера 1 \times n$ , а 1 — размера 1 × 1 единичная блочная матрица .

Формально $Aff(V)$ естественно изоморфна подгруппе $GL(V \oplus K)$ с $V$ , вложенным как аффинная плоскость ${(v, 1) | v \in V}$ , а именно стабилизатор этой аффинной плоскости; приведенная выше матричная формулировка является (транспонированной) реализацией этого, причем $n \times n$ и $1 \times 1$ ) соответствуют разложению в прямую сумму $V \oplus K.$ блоки

Аналогичным , представлением является любая $матрица размером (n + 1) \times (n + 1)$ в которой сумма записей в каждом столбце равна 1. ^[1] Подобие с заменой $P$ для перехода от указанного выше вида к этому представляет собой $единичную матрицу размера (n + 1) \times (n + 1)$ нижней строки на строку из всех единиц.

Каждый из этих двух классов матриц замкнут относительно умножения матриц.

Простейшей парадигмой вполне может быть случай $n = 1$ , то есть верхние треугольные матрицы 2 × 2, представляющие аффинную группу в одном измерении. Это двухпараметрическая неабелева группа Ли , поэтому всего с двумя генераторами (элементами алгебры Ли), $A$ и $B$ , такими, что $[A, B] = B$ , где

A=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad B=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right)\,,

так что

e^{aA+bB}=\left({\begin{array}{cc}e^{a}&{\tfrac {b}{a}}(e^{a}-1)\\0&1\end{array}}\right)\,.

Таблица символов $Aff(F p)$

$Aff(F p)$ имеет порядок $p (p - 1)$ . С

{\begin{pmatrix}c&d\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&d\\0&1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}a&(1-a)d+bc\\0&1\end{pmatrix}}\,,

мы знаем, $что Aff(F p)$ имеет $p$ классов сопряженности, а именно

{\begin{aligned}C_{id}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right\}\,,\\[6pt]C_{1}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}^{*}\right\}\,,\\[6pt]{\Bigg \{}C_{a}&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}\right\}{\Bigg |}a\in \mathbf {F} _{p}\setminus \{0,1\}{\Bigg \}}\,.\end{aligned}}

Тогда мы знаем, что $(Fp Aff)$ имеет $p$ неприводимых представлений. Согласно абзацу выше ( § Матричное представление ), существует $p - 1$ одномерных представлений, определяемых гомоморфизмом

\rho _{k}:\operatorname {Aff} (\mathbf {F} _{p})\to \mathbb {C} ^{*}

для $k = 1, 2,\dots p - 1$ , где

\rho _{k}{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}=\exp \left({\frac {2ikj\pi }{p-1}}\right)

и $я 2 = -1$ , $а = г дж$ , $g$ — генератор группы $F * п$ . Затем сравните с порядком $F p$ , мы имеем

p(p-1)=p-1+\chi _{p}^{2}\,,

следовательно, $χ p = p - 1$ — размерность последнего неприводимого представления. Наконец, используя ортогональность неприводимых представлений, мы можем дополнить таблицу характеров $Aff(F p)$ :

{\begin{array}{c|cccccc}&{\color {Blue}C_{id}}&{\color {Blue}C_{1}}&{\color {Blue}C_{g}}&{\color {Blue}C_{g^{2}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}C_{g^{p-2}}}\\\hline {\color {Blue}\chi _{1}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {2\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {2\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Blue}\chi _{2}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {8\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Blue}\chi _{3}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {6\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {12\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {6\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }\\{\color {Blue}\chi _{p-1}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}1}\\{\color {Blue}\chi _{p}}&{\color {Gray}p-1}&{\color {Gray}-1}&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}0}\end{array}}

Плоская аффинная группа над вещественными числами

Элементы $\operatorname {Aff} (2,\mathbb {R} )$ может принимать простую форму в удачно выбранной аффинной системе координат . Точнее, при аффинном преобразовании аффинной плоскости над вещественными числами существует аффинная система координат, в которой она имеет одну из следующих форм, где $a$ , $b$ и $t$ — действительные числа (данные условия обеспечивают обратимость преобразований, но не для того, чтобы сделать классы разными; например, идентичность принадлежит всем классам).

{\begin{aligned}{\text{1.}}&&(x,y)&\mapsto (x+a,y+b),\\[3pt]{\text{2.}}&&(x,y)&\mapsto (ax,by),&\qquad {\text{where }}ab\neq 0,\\[3pt]{\text{3.}}&&(x,y)&\mapsto (ax,y+b),&\qquad {\text{where }}a\neq 0,\\[3pt]{\text{4.}}&&(x,y)&\mapsto (ax+y,ay),&\qquad {\text{where }}a\neq 0,\\[3pt]{\text{5.}}&&(x,y)&\mapsto (x+y,y+a)\\[3pt]{\text{6.}}&&(x,y)&\mapsto (a(x\cos t+y\sin t),a(-x\sin t+y\cos t)),&\qquad {\text{where }}a\neq 0.\end{aligned}}

Случай 1 соответствует переводам .

Случай 2 соответствует масштабированию , которое может отличаться в двух разных направлениях. При работе с евклидовой плоскостью эти направления не обязательно должны быть перпендикулярными , поскольку оси координат не обязательно должны быть перпендикулярными.

Случай 3 соответствует масштабированию в одном направлении и сдвигу в другом.

Случай 4 соответствует сдвиговому отображению в сочетании с расширением.

Случай 5 соответствует сдвиговому отображению в сочетании с расширением.

Случай 6 соответствует подобию , когда оси координат перпендикулярны.

Аффинные преобразования без неподвижной точки относятся к случаям 1, 3 и 5. Преобразования, не сохраняющие ориентацию плоскости, относятся к случаям 2 (при $ab < 0$ ) или 3 (при $a < 0$ ).

Доказательство можно провести, сначала заметив, что если аффинное преобразование не имеет неподвижной точки, то матрица соответствующего линейного отображения имеет собственное значение, равное единице, а затем воспользовавшись теоремой Жордана о нормальной форме для вещественных матриц .

Другие аффинные группы и подгруппы

Общий случай

Учитывая любую подгруппу $G <GL(V)$ полной линейной группы , можно создать аффинную группу, иногда обозначаемую $Aff(G)$ , аналогично $Aff(G) := V ⋊ G$ .

В более общем и абстрактном смысле, если дана любая группа $G$ и представление $\rho :G\to \operatorname {GL} (V)$ G $V$ векторном пространстве $в$ , получаем ^{[примечание 1]} ассоциированная аффинная группа $V ⋊ ρ G$ : можно сказать, что полученная аффинная группа является « расширением группы с помощью векторного представления», и, как и выше, существует короткая точная последовательность $1\to V\to V\rtimes _{\rho }G\to G\to 1.$

Специальная аффинная группа

Подмножество всех обратимых аффинных преобразований, сохраняющих фиксированную форму объема с точностью до знака, называется специальной аффинной группой . (Сами преобразования иногда называют эквиаффинностями .) Эта группа является аффинным аналогом специальной линейной группы . В терминах полупрямого произведения специальная аффинная группа состоит из всех пар $(M, v)$ с $|\det(M)|=1$ , то есть аффинные преобразования $x\mapsto Mx+v$ где $M$ — линейное преобразование, определитель которого имеет абсолютное значение 1, а $v$ — любой фиксированный вектор сдвига. ^[2]^[3]

Подгруппой специальной аффинной группы, состоящей из тех преобразований, линейная часть которых имеет определитель 1, является группа отображений, сохраняющих ориентацию и объем. Алгебраически эта группа является полупрямым произведением $SL(V)\ltimes V$ специальной линейной группы $V$ с переводами. Он генерируется сдвиговыми отображениями .

Проективная подгруппа

Предполагая знание проективности и проективной группы проективной геометрии , можно легко определить аффинную группу. Например, Гюнтер Эвальд писал: ^[4]

Набор

{\mathfrak {P}}

всех проективных коллинеаций

P н

— это группа, которую мы можем назвать проективной группой

P н

. Если исходить из

П. н

в аффинное пространство

A н

объявив гиперплоскость

ω

гиперплоскостью на бесконечности , мы получим аффинную группу

{\mathfrak {A}}

из

А н

как подгруппа

{\mathfrak {P}}

состоящий из всех элементов

{\mathfrak {P}}

которые оставляют

ω

фиксированным.

{\mathfrak {A}}\subset {\mathfrak {P}}

Изометрии евклидова пространства

Когда аффинное пространство $A$ является евклидовым пространством (над полем действительных чисел), группа ${\mathcal {E}}$ сохраняющих расстояние отображений ( изометрий ) $A$ является подгруппой аффинной группы. Алгебраически эта группа является полупрямым произведением $O(V)\ltimes V$ ортогональной группы $V$ с переводами. Геометрически это подгруппа аффинной группы, порожденная ортогональными отражениями.

Группа Пуанкаре

Группа Пуанкаре является аффинной группой группы Лоренца $O(1,3)$ :

\mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {O} (1,3)

Этот пример очень важен в теории относительности .

См. также

Аффинная группа Кокстера - некоторые дискретные подгруппы аффинной группы в евклидовом пространстве, сохраняющие решетку.
голоморф

Примечания

^ Поскольку $GL(V) < Aut(V)$ . Обратите внимание, что это включение в общем случае является правильным, поскольку под «автоморфизмами» понимаются групповые автоморфизмы, т. е. они сохраняют групповую структуру на $V$ (сложение и начало координат), но не обязательно скалярное умножение, и эти группы различаются при работе над $R$ .

Ссылки

^ Пул, Дэвид Г. (ноябрь 1995 г.). «Стохастическая группа». Американский математический ежемесячник . 102 (9): 798–801.
^ Бергер, М. (1987). Геометрия . Том. 1. Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. Раздел 2.7.6. ISBN 9780534000349 .
^ Эвальд, Гюнтер (1971). Геометрия: Введение . Бельмонт: Уодсворт. Раздел 4.12. ISBN 9780534000349 .
^ Эвальд, Гюнтер (1971). Геометрия: Введение . Бельмонт: Уодсворт. п. 241. ИСБН 9780534000349 .

Линдон, Роджер (1985). «Раздел VI.1». Группы и геометрия . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-31694-4 .

[2] Поскольку $GL(V) < Aut(V)$ . Обратите внимание, что это включение в общем случае является правильным, поскольку под «автоморфизмами» понимаются групповые автоморфизмы, т. е. они сохраняют групповую структуру на $V$ (сложение и начало координат), но не обязательно скалярное умножение, и эти группы различаются при работе над $R$ .

[1] Пул, Дэвид Г. (ноябрь 1995 г.). «Стохастическая группа». Американский математический ежемесячник . 102 (9): 798–801.

[3] Бергер, М. (1987). Геометрия . Том. 1. Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. Раздел 2.7.6. ISBN 9780534000349 .

[4] Эвальд, Гюнтер (1971). Геометрия: Введение . Бельмонт: Уодсворт. Раздел 4.12. ISBN 9780534000349 .

[5] Эвальд, Гюнтер (1971). Геометрия: Введение . Бельмонт: Уодсворт. п. 241. ИСБН 9780534000349 .

[1]

[примечание 1]

[2]

[3]

[4]