Голоморф (математика)

В математике , особенно в области алгебры, как теория групп , голоморф группы известной $G$, обозначенный $\operatorname {Hol} (G)$, представляет собой группу, которая одновременно содержит (копии) $G$ и ее группа автоморфизмов $\operatorname {Aut} (G)$. Он предоставляет интересные примеры групп и позволяет рассматривать элементы группы и групповые автоморфизмы в едином контексте. Голоморф можно описать как полупрямое произведение или как группу перестановок .

Hol( G ) как полупрямой продукт

Если $\operatorname {Aut} (G)$ является автоморфизмов группой $G$ затем

$\operatorname {Hol} (G)=G\rtimes \operatorname {Aut} (G)$

где умножение определяется выражением

$(g,\alpha )(h,\beta )=(g\alpha (h),\alpha \beta ).$ ( 1 )

Обычно полупрямой продукт задается в виде $G\rtimes _{\phi }A$ где $G$ и $A$ представляют собой группы и $\phi :A\rightarrow \operatorname {Aut} (G)$ является гомоморфизмом , и где умножение элементов полупрямого произведения задается как

$(g,a)(h,b)=(g\phi (a)(h),ab)$

что вполне определено , поскольку $\phi (a)\in \operatorname {Aut} (G)$ и поэтому $\phi (a)(h)\in G$.

Для голоморфа $A=\operatorname {Aut} (G)$ и $\phi$ это карта идентичности , поэтому мы подавляем запись $\phi$ явно в умножении, данном в уравнении ( 1 ) выше.

Например,

• $G=C_{3}=\langle x\rangle =\{1,x,x^{2}\}$ циклическая группа порядка 3
• $\operatorname {Aut} (G)=\langle \sigma \rangle =\{1,\sigma \}$ где $\sigma (x)=x^{2}$
• $\operatorname {Hol} (G)=\{(x^{i},\sigma ^{j})\}$ с умножением, заданным:

$(x^{i_{1}},\sigma ^{j_{1}})(x^{i_{2}},\sigma ^{j_{2}})=(x^{i_{1}+i_{2}2^{^{j_{1}}}},\sigma ^{j_{1}+j_{2}})$ где показатели $x$ взяты mod 3 и те из $\sigma$ против 2.

Понаблюдайте, например

$(x,\sigma )(x^{2},\sigma )=(x^{1+2\cdot 2},\sigma ^{2})=(x^{2},1)$

и эта группа не абелева , как $(x^{2},\sigma )(x,\sigma )=(x,1)$, так что $\operatorname {Hol} (C_{3})$ — неабелева группа порядка 6, которая по основной теории групп должна быть изоморфна симметрической группе $S_{3}$.

Hol( G ) как группа перестановок

Группа G естественным образом действует на себя путем левого и правого умножения, каждое из которых приводит к гомоморфизму из G в симметрическую группу на базовом множестве G . Один гомоморфизм определяется как λ : G → Sym( G ), $\lambda _{g}$( час ) знак равно грамм · час . То есть g отображается в перестановку, полученную умножением каждого элемента G на g слева . Аналогично, второй гомоморфизм ρ : G → Sym( G ) определяется формулой $\rho _{g}$( час ) знак равно час · грамм ⁻¹ , где обратное гарантирует, что $\rho _{gh}$( к ) = $\rho _{g}$( $\rho _{h}$( к )). Эти гомоморфизмы называются левым и правым представлениями группы G. регулярными Каждый гомоморфизм инъективен , и этот факт называется теоремой Кэли .

Например, если G = C ₃ = {1, x , x ² } — циклическая группа третьего порядка, то

• $\lambda _{x}$(1) = х ·1 = х ,
• $\lambda _{x}$( Икс ) знак равно Икс · Икс знак равно Икс ² , и
• $\lambda _{x}$( х ² ) = х · х ² = 1,

поэтому λ ( x ) принимает (1, x , x ² ) до ( х , х ² , 1).

Образ λ является подгруппой Sym( G изоморфной G , а ее нормализатор в Sym( G ) определяется как голоморф N группы G. ) , Для каждого n в N и g в G существует h в G такой, что n · $\lambda _{g}$ = $\lambda _{h}$· н . элемент n голоморфа фиксирует тождество G Если , то для 1 в G , ( n · $\lambda _{g}$)(1) = ( $\lambda _{h}$· n )(1), но левая часть равна n ( g ), а правая часть равна h . Другими словами, если в N фиксирует идентичность G , то для каждого g в G n n · $\lambda _{g}$ = $\lambda _{n(g)}$· н . Если g , h — элементы G , а n — элемент N, фиксирующий идентичность G , то дважды применив это равенство к n · $\lambda _{g}$· $\lambda _{h}$ и один раз к (эквивалентному) выражению n · $\lambda _{gh}$ дает, что п ( г ) · п ( час ) знак равно п ( г · час ). То есть каждый элемент N , который фиксирует идентичность G, самом деле является автоморфизмом G на . Такое n нормализует $\lambda _{G}$и единственный $\lambda _{g}$ который фиксирует тождество, это λ (1). Полагая A стабилизатором порожденная идентичности, подгруппа, A и $\lambda _{G}$ является полупрямым произведением с нормальной подгруппой $\lambda _{G}$ и дополнить А. ​С $\lambda _{G}$ транзитивна порожденная , подгруппа, $\lambda _{G}$ и стабилизатор точки A полностью принадлежит N , что показывает, что голоморф как группа перестановок изоморфен голоморфу как полупрямое произведение.

Полезно, но не имеет прямого значения, централизатор что $\lambda _{G}$ в Sym( G ) есть $\rho _{G}$, их пересечение $\rho _{Z(G)}=\lambda _{Z(G)}$, где Z( G ) — центр G и что A — общее дополнение к обеим нормальным подгруппам N .

Характеристики

• ρ ( г ) ∩ Аут( г ) знак равно 1
• Aut( G ) нормализует ρ ( G ) так, что канонически ρ ( G )Aut( G ) ≅ G ⋊ Aut( G )
• $\operatorname {Inn} (G)\cong \operatorname {Im} (g\mapsto \lambda (g)\rho (g))$ поскольку λ ( г ) ρ ( г )( час ) знак равно ghg ⁻¹ ( $\operatorname {Inn} (G)$ есть группа внутренних автоморфизмов G ) .
• K ≤ G является характеристической подгруппой тогда и только тогда, когда λ ( K ) ⊴ Hol( G )

Ссылки

• Холл, Маршалл младший (1959), Теория групп , Macmillan, MR   0103215
• Бернсайд, Уильям (2004), Теория групп конечного порядка, 2-е изд. , Дувр, с. 87