Модуль Дятел

В математике модуль Шпехта — это одно из представлений симметричных групп, изученных Вильгельмом Шпехтом ( 1935 ).Они индексируются разбиениями, и в характеристике 0 модули Шпехта разбиений n образуют полный набор неприводимых представлений симметрической группы в n точках.

Определение

Зафиксируем разбиение λ числа n и коммутативное кольцо k . Раздел определяет диаграмму Юнга с n ящиками. Таблица Юнга формы λ — это способ пометки ячеек этой диаграммы Юнга разными числами. $1,\dots ,n$ .

Таблоид — это класс эквивалентности таблиц Юнга, в которых две разметки эквивалентны, если одна получается из другой путем перестановки записей каждой строки. Для каждой таблицы Юнга T формы λ пусть $\{T\}$ быть соответствующим таблоидом. Симметричная группа на n точках действует на множестве таблиц Юнга формы λ. Следовательно, он действует на таблоиды и на свободный k -модуль V, базой которого являются таблоиды.

Дана таблица Юнга T формы λ. Пусть

E_{T}=\sum _{\sigma \in Q_{T}}\epsilon (\sigma )\{\sigma (T)\}\in V

где Q _T — подгруппа перестановок, сохраняющая (как множества) все столбцы T и $\epsilon (\sigma )$ есть знак перестановки σ. Модуль Шпехта разбиения λ — это модуль, порожденный элементами ET _, когда T проходит через все таблицы формы λ.

Модуль Шпехта имеет основу из элементов E _T для T стандартной таблицы Юнга .

Небольшое введение в конструкцию модуля Specht можно найти в разделе 1 книги «Многогранники Specht и матроиды Specht». ^[1]

Структура

Размер модуля Specht $V_{\lambda }$ — количество стандартных таблиц Юнга формы $\lambda$ . Она определяется по формуле длины крючка .

Над полями характеристики 0 модули Шпехта неприводимы и образуют полный набор неприводимых представлений симметрической группы.

Разбиение называется p -регулярным (для простого числа p ), если оно не имеет p частей одинакового (положительного) размера. Над полями характеристики p >0 модули Шпехта приводимы. Для p -регулярных разбиений они имеют единственный неприводимый фактор, и эти неприводимые факторы образуют полный набор неприводимых представлений.

См. также

Garnir Relations , более подробное описание структуры модулей Specht.

Ссылки

^ Уилтшир-Гордон, Джон Д.; Ух, Александр; Заячковска, Магдалена (2017), «Многогранники Спехта и Матроиды Спехта», Комбинаторная алгебраическая геометрия , Связь Института Филдса, том. 80, стр. 201–228, arXiv : 1701.05277 , doi : 10.1007/978-1-4939-7486-3_10.

Андерсен, Хеннинг Хаар (2001) [1994], «Модуль Specht» , Энциклопедия математики , EMS Press
Джеймс, Г.Д. (1978), «Глава 4: Модули Specht», Теория представлений симметричных групп , Конспект лекций по математике, том. 682, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , с. 13, номер домена : 10.1007/BFb0067712 , ISBN 978-3-540-08948-3 , МР 0513828
Джеймс, Гордон; Кербер, Адальберт (1981), Теория представлений симметрической группы , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 16, издательство Addison-Wesley Publishing Co., Ридинг, Массачусетс, ISBN 978-0-201-13515-2 , МР 0644144
Шпехт, В. (1935), «Неприводимые представления симметричной группы», Mathematical Journal , 39 (1): 696–711, doi : 10.1007/BF01201387 , ISSN 0025-5874

[1] Уилтшир-Гордон, Джон Д.; Ух, Александр; Заячковска, Магдалена (2017), «Многогранники Спехта и Матроиды Спехта», Комбинаторная алгебраическая геометрия , Связь Института Филдса, том. 80, стр. 201–228, arXiv : 1701.05277 , doi : 10.1007/978-1-4939-7486-3_10.

[1]