Украшайте отношения

В математике отношения Гарнира позволяют выразить основу модулей Шпехта V _λ в терминах стандартных политаблоидов.

Модули Specht в терминах политаблоидов

Учитывая целочисленное разбиение λ числа n , имеется модуль Шпехта V _λ . это неприводимое представление симметрической группы Sn _. В характеристике 0 можно построить В явном виде V _λ в терминах политаблоидов следующим образом:

Начните с представления перестановок Sn _, действующего на все таблицы Юнга формы λ , которые являются заполнением диаграммы Юнга λ числами 1, 2, ... n , каждый из которых используется один раз (обратите внимание, что мы не требуем, чтобы таблицы быть стандартными, вдоль строк и столбцов не налагаются никакие условия). Группа S _n действует путем перестановки позиций в каждой таблице (например, существует циклическая перестановка элементов первой строки на одну позицию вперед).
Таблоид Янга - это орбита таблиц Янга под действием перестановок строк, подгруппа перестановок Sn _. , которые переставляют позиции в каждой строке отдельно (эта « подгруппа Янга » представляет собой продукт симметричных групп, по одной для каждой строки) . Таблоид Янга T обозначается { T }.
Теперь рассмотрим свободную абелеву группу политаблоидов — формальные линейные комбинации с целыми коэффициентами таблоидов Янга. Любой таблице Юнга T сопоставляется политаблоид e _T следующим образом. Сначала формируется орбита T под действием группы ${\rm {col}}(T)$ перестановок столбцов (еще одна подгруппа Янга, определяемая аналогично перестановкам строк, но перестановка позиций только внутри отдельных столбцов). Тогда запись результата действия над таблицей T перестановкой столбцов σ как Tσ определяет:

e_{T}=\sum _{\sigma \in {\rm {col}}(T)}\operatorname {sgn}(\sigma )\{T\sigma \}.

\{T\}=\{T'\}

не подразумевает

e_{T}=e_{T'}

, поскольку действия перестановок строк и столбцов вообще не коммутируют.

Тогда модуль Шпехта V _λ является подпространством пространства всех политаблоидов, натянутым на политаблоиды e _T для всех таблиц Юнга T формы λ .

Выпрямление политаблоидов и элементы Гарнира

Приведенная выше конструкция дает явное описание модуля Шпехта V _λ . Однако политаблоиды, связанные с разными таблицами Юнга, не обязательно являются линейно независимыми: размерность V _λ в точности равна числу стандартных таблиц Юнга формы λ. Фактически, политаблоиды, связанные со стандартными таблицами Юнга, охватывают V _λ ; чтобы выразить через них другие политаблоиды, используют алгоритм выпрямления .

Учитывая таблицу Юнга S , мы строим политаблоид e _S , как указано выше. Без ограничения общности все столбцы таблицы S являются возрастающими, иначе мы могли бы вместо этого начать с модифицированной таблицы Юнга с возрастающими столбцами, политаблоид которой будет отличаться не более чем знаком. S Тогда говорят, что не имеет спусков по столбцам . Мы хотим выразить e _S как линейную комбинацию стандартных политаблоидов, т. е. политаблоидов, связанных со стандартными таблицами Юнга. Для этого нам нужны перестановки π _i такие, чтобы во всех таблицах S π _i исключался спуск по строкам, при этом $S(1+\sum _{i}\pi _{i})=0$ . Затем это выражает S в терминах политаблоидов, которые ближе к стандарту. Перестановки, которые достигают этого, являются элементами Гарнира .

мы хотим исключить спуск по строкам в таблице Юнга T. Предположим , Мы выбираем два подмножества A и B ящиков T, как показано на следующей диаграмме:

Тогда элемент Гарнира $g_{A,B}$ определяется как $\sum _{i}\operatorname {sgn}(\pi _{i})\pi _{i}$ , где π _i — это перестановки записей ячеек A и B , которые сохраняют оба подмножества A и B без спуска столбцов.

Пример

Рассмотрим следующую таблицу Юнга:

Во второй строке имеется спуск, поэтому мы выбираем подмножества A и B , как указано, что дает нам следующее:

Это дает нам элемент Гарнир. $g_{A,B}=1-(45)+(245)+(465)-(2465)+(25)(46)$ . Это позволяет нам убрать спуск во второй строке, но это также привело к появлению других спусков в других местах. Но есть способ, благодаря которому все полученные таким образом таблицы становятся ближе к стандартным: это измеряется порядком доминирования в политаблоидах. Следовательно, можно неоднократно применять эту процедуру для выпрямления политаблоида, в конечном итоге записав его как линейную комбинацию стандартных политаблоидов, показывая, что модуль Шпехта состоит из стандартных политаблоидов. Поскольку они также линейно независимы, они составляют основу этого модуля.

Другие интерпретации

Аналогичное описание имеется и для неприводимых представлений GL _n . В этом случае можно рассмотреть модули Вейля, связанные с разбиением λ, которые можно описать с помощью бидетерминантов . Есть аналогичный алгоритм выпрямления, но на этот раз в терминах полустандартных таблиц Юнга.

Ссылки

Уильям Фултон. Таблицы Янга с приложениями к теории представлений и геометрии . Издательство Кембриджского университета, 1997.
Брюс Э. Саган . Симметричная группа . Спрингер, 2001.
Джеймс Александр Грин . Полиномиальные представления GL _n . Конспекты лекций Спрингера по математике, 2007 г.