Молодая подгруппа

В математике подгруппы Юнга симметрической группы $S_{n}$ — специальные подгруппы, возникающие в комбинаторике и теории представлений . Когда $S_{n}$ рассматривается группа перестановок множества как $\{1,2,\ldots ,n\}$, и если $\lambda =(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{\ell })$ является разделом целочисленным $n$, то подгруппа Янга $S_{\lambda }$ индексируется $\lambda$ определяется $$S_{\lambda }=S_{\{1,2,\ldots ,\lambda _{1}\}}\times S_{\{\lambda _{1}+1,\lambda _{1}+2,\ldots ,\lambda _{1}+\lambda _{2}\}}\times \cdots \times S_{\{n-\lambda _{\ell }+1,n-\lambda _{\ell }+2,\ldots ,n\}},$$где $S_{\{a,b,\ldots \}}$ обозначает множество перестановок $\{a,b,\ldots \}$ и $\times$ обозначает прямое произведение групп . Абстрактно, $S_{\lambda }$ изоморфно произведению $S_{\lambda _{1}}\times S_{\lambda _{2}}\times \cdots \times S_{\lambda _{\ell }}$. Молодые подгруппы названы в честь Альфреда Янга .

Когда $S_{n}$ рассматривается как группа отражений , ее подгруппы Янга являются в точности ее параболическими подгруппами . Их эквивалентно можно определить как подгруппы, порожденные подмножеством соседних транспозиций. $(1\ 2),(2\ 3),\ldots ,(n-1\ n)$.

В некоторых случаях название подгруппы Янга используется в более общем смысле для продукта. $S_{B_{1}}\times \cdots \times S_{B_{\ell }}$, где $\{B_{1},\ldots ,B_{\ell }\}$ это любой набор разделов $\{1,\ldots ,n\}$ (то есть совокупность непересекающихся непустых подмножеств, объединение которых равно $\{1,\ldots ,n\}$). Это более общее семейство подгрупп состоит из всех сопряженных подгрупп под предыдущим определением. Эти подгруппы также можно охарактеризовать как подгруппы $S_{n}$ которые генерируются набором транспозиций .

Дальнейшее чтение

• Боревич З.И. ; Гаврон П.В. (1985), «Расположение подгрупп Юнга в симметричной группе», Журнал советской математики , 30 : 1816–1823, doi : 10.1007/BF02105094
• «Молодая подгруппа» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]