Молодая картина

В математике таблица Юнга ( / t æ ˈ b l oʊ , ˈ t æ b l oʊ / ; множественное число: tableaux ) — комбинаторный объект, полезный в теории представлений и исчислении Шуберта . обеспечивает удобный способ описания групповых представлений симметричных Он и общих линейных групп и изучения их свойств. Таблицы Янга были введены Альфредом Янгом , математиком из Кембриджского университета , в 1900 году. ^[1]^[2] Затем они были применены к изучению симметричной группы Георгом Фробениусом в 1903 году. Их теория получила дальнейшее развитие у многих математиков, в том числе Перси МакМагона , УВД Ходжа , Г. де Б. Робинсона , Джан-Карло Роты , Алена Ласку , Марселя- Пол Шютценбергер и Ричард П. Стэнли .

Определения

Примечание. В этой статье используется английское соглашение для отображения диаграмм и таблиц Юнга .

Диаграммы

Диаграмма Юнга (также называемая диаграммой Феррера , особенно если она представлена с помощью точек) представляет собой конечный набор блоков или ячеек, расположенных в строках, выровненных по левому краю, с длинами строк в невозрастающем порядке. Перечисление количества ячеек в каждой строке дает разбиение $λ$ неотрицательного целого числа $n$ — общего количества ячеек диаграммы. Говорят, что диаграмма Юнга имеет форму $λ$ и несет ту же информацию, что и это разбиение. Включение одной диаграммы Юнга в другую определяет частичный порядок на множестве всех разбиений, которое на самом деле представляет собой решетчатую структуру, известную как решетка Юнга . Перечисление количества ячеек диаграммы Юнга в каждом столбце дает еще одно разбиение, сопряженное или транспонированное разбиение $λ$ ; диаграмму Юнга такой формы можно получить, отразив исходную диаграмму вдоль ее главной диагонали.

Существует почти всеобщее согласие, что при маркировке блоков диаграмм Юнга парами целых чисел первый индекс выбирает строку диаграммы, а второй индекс выбирает блок внутри строки. Тем не менее, существуют два различных соглашения для отображения этих диаграмм и, следовательно, таблиц: в первом каждая строка размещается ниже предыдущей, а во втором каждая строка размещается поверх предыдущей. Поскольку первое соглашение в основном используется англоязычными людьми, а второе часто предпочитают франкоязычные люди , принято называть эти соглашения соответственно английскими обозначениями и французскими обозначениями ; например, в своей книге о симметричных функциях Макдональд советует читателям, предпочитающим французскую конвенцию, «читать эту книгу вверх ногами перед зеркалом» (Macdonald 1979, стр. 2). Эта номенклатура, вероятно, изначально была шутливой. Английское обозначение соответствует общепринятому для матриц, а французское обозначение ближе к соглашению о декартовых координатах. ; однако французские обозначения отличаются от этого соглашения тем, что сначала ставятся вертикальные координаты. На рисунке справа показана в английских обозначениях диаграмма Юнга, соответствующая разбиению (5, 4, 1) числа 10. Сопряженное разбиение, измеряющее длины столбцов, равно (3, 2, 2, 2, 1).

Длина руки и ноги

многих приложениях, например при определении функций Джека , удобно определять длину плеча λ _s ( Во ) ящика s как количество ящиков справа от s на диаграмме λ в английских обозначениях. Аналогично, длина этапа l _λ ( s ) — это количество ящиков ниже s . Длина крючка коробки s — это количество коробок справа от s или ниже s коробку s в английских обозначениях, включая саму ; другими словами, длина крючка равна a _λ ( s ) + l _λ ( s ) + 1.

Картины

Таблица Юнга получается заполнением ячеек диаграммы Юнга символами, взятыми из некоторого алфавита , который обычно представляет собой полностью упорядоченный набор . Первоначально этот алфавит представлял собой набор индексированных переменных $x 1$ , $x 2$ , $x 3$ ..., но сейчас для краткости обычно используют набор чисел. В своем первоначальном применении к представлениям симметричной группы таблицы Юнга имеют $n$ различных записей, произвольно назначенных полям диаграммы. Таблица называется стандартной , если записи в каждой строке и каждом столбце увеличиваются. Количество различных стандартных таблиц Юнга на $n$ записях определяется числами инволюции.

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ... (последовательность A000085 в OEIS ).

В других приложениях вполне естественно разрешить появление одного и того же числа в таблице более одного раза (или не появляться вообще). Таблица называется полустандартной или строгой по столбцу , если записи слабо увеличиваются вдоль каждой строки и строго увеличиваются вниз по каждому столбцу. Запись количества раз, когда каждое число появляется в таблице, дает последовательность, известную как вес таблицы. Таким образом, стандартные таблицы Юнга — это в точности полустандартные таблицы веса (1,1,...,1), которые требуют, чтобы каждое целое число до $n$ встречалось ровно один раз.

В стандартной таблице Юнга целое число $k$ это спуск , если $k+1$ появляется подряд строго ниже $k$ . Сумма спусков называется главным индексом таблицы. ^[3]

Вариации

Существует несколько вариантов этого определения: например, в таблице со строгим ограничением по строкам записи строго увеличиваются по строкам и слабо увеличиваются по столбцам. Также таблицы с убывающими элементами рассматривались, в частности, в теории плоских разбиений . Существуют также обобщения, такие как таблицы домино или ленточные таблицы, в которых несколько блоков можно сгруппировать вместе, прежде чем назначить им записи.

Перекос таблиц

Косая форма — это пара разбиений ( $λ$ , $µ$ ), такая что диаграмма Юнга $λ$ содержит диаграмму Юнга $µ$ ; оно обозначается $λ / µ$ . Если $λ = (λ 1, λ 2, ...)$ и $µ = (µ 1, µ 2, ...)$ , то включение диаграмм означает, что $µ i \leq λ i$ для всех $i$ . Косая диаграмма косой формы $λ / µ$ — это теоретико-множественная разность диаграмм Юнга $λ$ и $µ$ : набор квадратов, которые принадлежат диаграмме $λ,$ но не принадлежат диаграмме $µ$ . Таблица перекоса формы $λ / μ$ получается путем заполнения квадратов соответствующей диаграммы перекоса; такая таблица является полустандартной, если элементы слабо увеличиваются по каждой строке и строго вниз по каждому столбцу, и является стандартной, если, кроме того, все числа от 1 до числа квадратов диаграммы перекоса встречаются ровно один раз. Хотя отображение разбиений на их диаграммы Юнга является инъективным, это не относится к отображению перекосов фигур на перекос диаграмм; ^[4] поэтому форму диаграммы перекоса не всегда можно определить только по набору закрашенных квадратов. Хотя многие свойства асимметричных таблиц зависят только от заполненных квадратов, некоторые операции, определенные над ними, требуют явного знания $λ$ и $μ$ , поэтому важно, чтобы асимметричные таблицы действительно записывали эту информацию: две отдельные асимметричные таблицы могут отличаться только своей формой. при этом они занимают один и тот же набор квадратов, каждый из которых заполнен одними и теми же записями. ^[5] Таблицы Янга можно идентифицировать с косыми таблицами, в которых $µ$ — это пустой раздел (0) (уникальный раздел 0).

Любая косая полустандартная таблица $T$ формы $λ / µ$ с элементами положительных целых чисел порождает последовательность разбиений (или диаграмм Юнга), начиная с $µ$ и беря в качестве разбиения $i$ места дальше в последовательности тот, диаграмма которого получена из значение $µ$ путем добавления всех ячеек, содержащих значение ≤ $i$ в $T$ ; это разбиение в конечном итоге становится равным $λ$ . Любая пара последовательных фигур в такой последовательности представляет собой косую фигуру, диаграмма которой содержит не более одного прямоугольника в каждом столбце; такие формы называются горизонтальными полосами . Эта последовательность разбиений полностью определяет $T$ , и фактически в качестве таких последовательностей можно определить (перекошенные) полустандартные таблицы, как это сделал Макдональд (Macdonald 1979, стр. 4). Это определение включает в себя разделы $λ$ и $μ$ в данных, составляющих таблицу перекоса.

Обзор приложений

Таблицы Янга имеют многочисленные приложения в комбинаторике , теории представлений и алгебраической геометрии . Различные способы подсчета таблиц Юнга были исследованы и привели к определению и тождества для функций Шура .

Известны многие комбинаторные алгоритмы на таблицах, в том числе игра Шютценбергера и соответствие Робинсона-Шенстеда-Кнута . Ласку и Шютценбергер изучили ассоциативное произведение на множестве всех полустандартных таблиц Юнга, придав ему структуру, называемую пластическим моноидом (французский: le monoïde plaxique ).

В теории представлений стандартные таблицы Юнга размера $k$ описывают базисы в неприводимых представлениях симметрической группы на $k$ буквах. Стандартный мономиальный базис в конечномерном неприводимом представлении полной линейной группы $GL n$ параметризуется множеством полустандартных таблиц Юнга фиксированной формы над алфавитом {1, 2, ..., $n$ }. важные последствия для теории инвариантов , начиная с работы Ходжа об однородном координатном кольце грассманиана Это имеет и далее исследованного Джан-Карло Ротой с сотрудниками де Кончини и Процесси , а также Эйзенбудом . Правило Литтлвуда –Ричардсона, описывающее (помимо прочего) разложение тензорных произведений неприводимых представлений $GL n$ на неприводимые компоненты, формулируется в терминах некоторых косых полустандартных таблиц.

Приложения к алгебраической геометрии сосредоточены вокруг исчисления Шуберта на грассманианах и многообразиях флагов . Некоторые важные классы когомологий могут быть представлены полиномами Шуберта и описаны в терминах таблиц Юнга.

Приложения в теории представлений

Диаграммы Юнга находятся во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми представлениями симметрической группы над комплексными числами . Они предоставляют удобный способ указать симметризаторы Юнга , из которых неприводимые представления строятся . Многие факты о представлении можно вывести из соответствующей диаграммы. Ниже мы опишем два примера: определение размерности представления и ограниченные представления. В обоих случаях мы увидим, что некоторые свойства представления можно определить, используя только его диаграмму. Молодые таблицы вовлечены в использование симметричной группы в квантово-химические исследования атомов, молекул и твердых тел. ^[6]^[7]

Диаграммы Янга также параметризуют неприводимые полиномиальные представления общей линейной группы $GL n$ (когда они имеют не более $n$ непустых строк) или неприводимые представления специальной линейной группы $SL n$ (когда они имеют не более $n - 1$ непустых строк), или неприводимые комплексные представления специальной унитарной группы $SU n$ (опять же, когда они имеют не более $n - 1$ непустых строк). полустандартные таблицы с записями до $n$ В этих случаях центральную роль играют , а не стандартные таблицы; в частности, именно количество этих таблиц определяет размерность представления.

Размерность представления

Длины ящиков для перегородки 10 = 5 + 4 + 1

Размерность неприводимого представления $π λ$ симметрической группы $Sn,$ соответствующего разбиению $λ$ группы $n,$ равна числу различных стандартных таблиц Юнга, которые можно получить из диаграммы представления. Это число можно рассчитать по формуле длины крючка .

Крючок длины крючка $(x)$ коробки $x$ на диаграмме Юнга $Y (λ)$ формы $λ$ — это количество коробок, которые находятся в одной строке справа от нее, плюс коробки в том же столбце под ней, плюс одна ( за саму коробку). По формуле длины крючка размерность неприводимого представления равна $n!$ разделить на произведение длин крючков всех коробок на схеме изображения:

\dim \pi _{\lambda }={\frac {n!}{\prod _{x\in Y(\lambda )}\operatorname {hook} (x)}}.

На рисунке справа показаны длины крючков для всех ящиков на схеме перегородки 10 = 5 + 4 + 1. Таким образом,

\dim \pi _{\lambda }={\frac {10!}{7\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1}}=288.

Аналогично, размерность неприводимого представления $W (λ)$ группы $GL r,$ соответствующего разбиению λ числа n (с не более чем r частями), равна количеству полустандартных таблиц Юнга формы λ (содержащих только элементы от 1 до r ), которая определяется формулой длины крючка:

\dim W(\lambda )=\prod _{(i,j)\in Y(\lambda )}{\frac {r+j-i}{\operatorname {hook} (i,j)}},

где индекс i обозначает строку, а j — столбец блока. ^[8] Например, для разбиения (5,4,1) получаем размерность соответствующего неприводимого представления $GL 7$ (обходя ячейки по строкам):

\dim W(\lambda )={\frac {7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 5}{7\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1}}=66528.

Ограниченные представления

Представление симметрической группы на $n$ элементах, $S n,$ также является представлением симметрической группы на $n - 1$ элементах, $Sn - 1$ . Однако неприводимое представление $не Sn$ может быть неприводимым для $Sn - 1$ . Вместо этого оно может быть прямой суммой нескольких представлений, неприводимых для $Sn - 1$ . Эти представления затем называются факторами ограниченного представления (см. также индуцированное представление ).

данного неприводимого представления Sn _n , соответствующего разбиению $λ$ числа $На вопрос об определении этого разложения ограниченного представления$ , отвечают следующим образом. Формируется множество всех диаграмм Юнга, которые можно получить из диаграммы формы $λ,$ удалив всего одну клетку (которая должна находиться в конце как ее строки, так и ее столбца); тогда ограниченное представление разлагается как прямая сумма неприводимых представлений $S n -1,$ соответствующих этим диаграммам, каждое из которых встречается в сумме ровно один раз.

См. также

Примечания

^ Кнут, Дональд Э. (1973), Искусство компьютерного программирования, Vol. III: Сортировка и поиск (2-е изд.), Аддисон-Уэсли, стр. 48. Такие меры были введены Альфредом Янгом в 1900 году .
^ Янг, А. (1900), «О количественном анализе замещения» , Труды Лондонского математического общества , серия 1, 33 (1): 97–145, doi : 10.1112/plms/s1-33.1.97 . См., в частности, стр. 133.
^ Стембридж, Джон (1 декабря 1989 г.). «О собственных значениях представлений групп отражений и сплетений» . Тихоокеанский математический журнал . 140 (2). Издательства математических наук: 353–396. дои : 10.2140/pjm.1989.140.353 . ISSN 0030-8730 .
^ Например, диаграмму перекоса, состоящую из одного квадрата в позиции (2,4), можно получить, удалив диаграмму $µ = (5,3,2,1)$ из диаграммы $λ = (5,4,2, 1)$ , но и (бесконечно) многими другими способами. В общем, любая диаграмма перекоса, набор непустых строк (или непустых столбцов) которого не является смежным или не содержит первую строку (соответственно столбец), будет связана с более чем одной фигурой перекоса.
^ размером 3 на 0 $Несколько аналогичная ситуация возникает для матриц: матрицу A$ следует отличать от матрицы $B$ размером 0 на 3 , поскольку $AB$ (ноль). $— это матрица размером 3 на 3 (ноль), а BA — матрица размером 0 на 3 (ноль), а BA$ — матрица размером 0 на 3 -0 матрица, но и $A$ , и $B$ имеют одинаковый (пустой) набор записей; однако для асимметричных таблиц такое различие необходимо даже в тех случаях, когда набор записей не пуст.
^ Филип Р. Банкер и Пер Дженсен (1998) Молекулярная симметрия и спектроскопия , 2-е изд. NRC Research Press, Оттава [1] стр.198-202. ISBN 9780660196282
^ Р.Паунц (1995) Симметричная группа в квантовой химии , CRC Press, Бока-Ратон, Флорида
^ Предраг Цвитанович (2008). Теория групп: птичьи следы, ложь и исключительные группы . Издательство Принстонского университета. , экв. 9.28 и приложение Б.4.

Ссылки

Уильям Фултон . Таблицы Янга с приложениями к теории представлений и геометрии . Издательство Кембриджского университета, 1997, ISBN 0-521-56724-6 .
Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . МР 1153249 . OCLC 246650103 . Лекция 4
Говард Джорджи, Алгебры Ли в физике элементарных частиц, 2-е издание - Westview
Макдональд, И.Г. Симметричные функции и полиномы Холла. Оксфордские математические монографии. The Clarendon Press, Oxford University Press, Оксфорд, 1979. viii+180 стр. ISBN 0-19-853530-9 МР 553598
Лоран Манивель. Симметричные функции, полиномы Шуберта и точки вырождения . Американское математическое общество.
Грин, Кертис ; Ниженхейс, Альберт ; Уилф, Герберт С. (1979). «Вероятностное доказательство формулы количества таблиц Юнга заданной формы» . Достижения в математике . 31 (1). Амстердам: Эльзевир : 104–109. дои : 10.1016/0001-8708(79)90023-9 . МР 0521470 . Збл 0398.05008 .
Жан-Кристоф Новелли, Игорь Пак , Александр В. Стояновский, « Прямое биективное доказательство формулы длины крючка », Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science 1 (1997), стр. 53–67.
Брюс Э. Саган . Симметричная группа . Спрингер, 2001 г., ISBN 0-387-95067-2
Винберг, Э.Б. (2001) [1994], «Таблица молодого человека» , Энциклопедия математики , EMS Press
Йонг, Александр (февраль 2007 г.). «Что такое... молодая картина?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 54 (2): 240–241 . Проверено 16 января 2008 г.
Предраг Цвитанович , Теория групп: птичьи следы, Ли и исключительные группы . Издательство Принстонского университета, 2008.

Внешние ссылки

Эрик В. Вайсштейн. « Диаграмма Феррера ». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.
Эрик В. Вайсштейн. « Молодая картина ». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.
Запись полустандартной таблицы в FindStat базе данных
Стандартная запись таблиц в FindStat базе данных

[1] Кнут, Дональд Э. (1973), Искусство компьютерного программирования, Vol. III: Сортировка и поиск (2-е изд.), Аддисон-Уэсли, стр. 48. Такие меры были введены Альфредом Янгом в 1900 году .

[2] Янг, А. (1900), «О количественном анализе замещения» , Труды Лондонского математического общества , серия 1, 33 (1): 97–145, doi : 10.1112/plms/s1-33.1.97 . См., в частности, стр. 133.

[ste89-3] Стембридж, Джон (1 декабря 1989 г.). «О собственных значениях представлений групп отражений и сплетений» . Тихоокеанский математический журнал . 140 (2). Издательства математических наук: 353–396. дои : 10.2140/pjm.1989.140.353 . ISSN 0030-8730 .

[4] Например, диаграмму перекоса, состоящую из одного квадрата в позиции (2,4), можно получить, удалив диаграмму $µ = (5,3,2,1)$ из диаграммы $λ = (5,4,2, 1)$ , но и (бесконечно) многими другими способами. В общем, любая диаграмма перекоса, набор непустых строк (или непустых столбцов) которого не является смежным или не содержит первую строку (соответственно столбец), будет связана с более чем одной фигурой перекоса.

[5] размером 3 на 0 $Несколько аналогичная ситуация возникает для матриц: матрицу A$ следует отличать от матрицы $B$ размером 0 на 3 , поскольку $AB$ (ноль). $— это матрица размером 3 на 3 (ноль), а BA — матрица размером 0 на 3 (ноль), а BA$ — матрица размером 0 на 3 -0 матрица, но и $A$ , и $B$ имеют одинаковый (пустой) набор записей; однако для асимметричных таблиц такое различие необходимо даже в тех случаях, когда набор записей не пуст.

[6] Филип Р. Банкер и Пер Дженсен (1998) Молекулярная симметрия и спектроскопия , 2-е изд. NRC Research Press, Оттава [1] стр.198-202. ISBN 9780660196282

[7] Р.Паунц (1995) Симметричная группа в квантовой химии , CRC Press, Бока-Ратон, Флорида

[8] Предраг Цвитанович (2008). Теория групп: птичьи следы, ложь и исключительные группы . Издательство Принстонского университета. , экв. 9.28 и приложение Б.4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]