Теория представлений симметрической группы

В математике теория представлений симметрической группы является частным случаем теории представлений конечных групп , для которого может быть получена конкретная и подробная теория. Это имеет широкую область потенциальных применений: от симметричных функций теории до квантовохимических исследований атомов, молекул и твердых тел. ^[1]^[2]

Симметричная группа Sn _n имеет !. порядок Его классы помечены разбиениями n сопряженности . Поэтому, согласно теории представлений конечной группы, число неэквивалентных неприводимых представлений над комплексными числами равно числу разбиений n . В отличие от общей ситуации для конечных групп, на самом деле существует естественный способ параметризовать неприводимые представления тем же набором, который параметризует классы сопряженных элементов, а именно с помощью разбиений n или, что то же самое, диаграмм Юнга размера n .

Каждое такое неприводимое представление фактически может быть реализовано над целыми числами (любая перестановка, действующая с помощью матрицы с целыми коэффициентами); его можно явно построить путем вычисления симметризаторов Юнга, действующих в пространстве, порожденном таблицами Юнга формы, заданной диаграммой Юнга. Размер $d_{\lambda }$ представления, соответствующего диаграмме Юнга $\lambda$ определяется по формуле длины крючка .

Каждому неприводимому представлению ρ можно сопоставить неприводимый характер χ ^р.Чтобы вычислить χ ^р(π) где π — перестановка, можно использовать комбинаторное правило Мурнагана – Накаямы . ^[3] Заметим, что χ ^р постоянна на классах сопряженности,то есть х ^р(р) = х ^р(п ⁻¹пс) для всех перестановок п.

В других областях ситуация может значительно усложниться. Если поле K имеет характеристику, большую n, по теореме Машке групповая алгебра KSn то _{равную нулю или} полупроста. В этих случаях неприводимые представления, определенные над целыми числами, дают полный набор неприводимых представлений (после приведения по модулю характеристики, если необходимо).

Однако неприводимые представления симметрической группы в произвольной характеристике неизвестны. В этом контексте более привычно использовать язык модулей, а не представлений. Представление, полученное из неприводимого представления, определенного над целыми числами путем сокращения по модулю характеристики, вообще говоря, не будет неприводимым. Модули, построенные таким образом, называются модулями Шпехта , и каждое неприводимое действительно возникает внутри некоторого такого модуля. Неприводимых теперь стало меньше, и хотя их можно классифицировать, они очень плохо изучены. Например, даже их размеры вообще не известны .

Определение неприводимых модулей симметрической группы над произвольным полем широко рассматривается как одна из наиболее важных открытых проблем теории представлений.

Низкомерные представления

Симметричные группы

Представления симметрических групп наименьшей размерности можно описать явно: ^[4]^[5] и над произвольными полями. ^[6]^{[ нужна страница ]} Здесь описаны две наименьшие степени нулевой характеристики:

Каждая симметричная группа имеет одномерное представление, называемое тривиальным представлением , где каждый элемент действует как поочередная единичная матрица. Для n ≥ 2 существует другое неприводимое представление степени 1, называемое знаковым представлением или альтернативным символом , которое переводит перестановку в матрицу один на один с записью ±1 на основе знака перестановки . Это единственные одномерные представления симметрических групп, поскольку одномерные представления абелевы, а абелианизация симметрической группы — это C ₂ , циклическая группа порядка 2.

Для всех n существует n -мерное представление симметрической группы порядка n! , называемый естественное представление перестановок , которое состоит из перестановок n координат. Это имеет тривиальное подпредставление, состоящее из векторов, все координаты которых равны. Ортогональное дополнение состоит из тех векторов, сумма координат которых равна нулю, и когда n ≥ 2 , представление в этом подпространстве представляет собой ( n − 1) -мерное неприводимое представление, называемое стандартным представлением . Другое ( n − 1) -мерное неприводимое представление находится путем тензорирования со знаковым представлением. Внешняя сила $\Lambda ^{k}V$ стандартного представления $V$ является неприводимым при условии $0\leq k\leq n-1$ ( Фултон и Харрис 2004 ).

Для n ≥ 7 минимальной размерности _{это неприводимые представления Sn} - все остальные неприводимые представления имеют размерность не менее n . Однако при n = 4 сюръекция от S ₄ к S ₃ позволяет S ₄ наследовать двумерное неприводимое представление. При n = 6 исключительное транзитивное вложение S5 _в S6 _{порождает} еще одну пару пятимерных неприводимых представлений.

Неприводимое представление $S_{n}$	Измерение	Диаграмма молодых размеров $n$
Тривиальное представление	$1$	$(n)$
Представление знака	$1$	$(1^{n})=(1,1,\dots ,1)$
Стандартное представление $V$	$n-1$	$(n-1,1)$
Внешняя мощность $\Lambda ^{k}V$	${\binom {n-1}{k}}$	$(n-k,1^{k})$

Чередование групп

Теория представления знакопеременных групп аналогична, хотя представление знаков исчезает. Для n ≥ 7 неприводимыми представлениями наименьшей размерности являются тривиальное представление в размерности один и ( n - 1) -мерное представление из другого слагаемого представления перестановки, при этом все остальные неприводимые представления имеют более высокую размерность, но есть исключения для меньшего n .

Знакомые группы при n ≥ 5 имеют только одно одномерное неприводимое представление — тривиальное представление. При n = 3, 4 существуют два дополнительных одномерных неприводимых представления, соответствующих отображениям в циклическую группу порядка 3: A ₃ ≅ C ₃ и A ₄ → A ₄ / V ≅ C ₃ .

Для n ≥ 7 существует только одно неприводимое представление степени n − 1 , и это наименьшая степень нетривиального неприводимого представления.
При n = 3 очевидный аналог ( n − 1) -мерного представления приводим – представление перестановки совпадает с регулярным представлением и, таким образом, распадается на три одномерных представления, поскольку A ₃ ≅ C ₃ абелева; см. дискретное преобразование Фурье для теории представлений циклических групп.
Для n = 4 существует только одно n − 1 неприводимых представлений, но существуют исключительные неприводимые представления размерности 1.
Для n = 5 существуют два двойственных неприводимых представления размерности 3, соответствующие ее действию как икосаэдральной симметрии .
При n = 6 существует дополнительное неприводимое представление размерности 5, соответствующее исключительному транзитивному вложению A ₅ в A ₆ .

Тензорные произведения представлений

Коэффициенты Кронекера

Тензорное произведение двух представлений $S_{n}$ соответствующие диаграммам Юнга $\lambda ,\mu$ представляет собой комбинацию неприводимых представлений $S_{n}$ ,

V_{\lambda }\otimes V_{\mu }\cong \sum _{\nu }C_{\lambda ,\mu ,\nu }V_{\nu }

Коэффициенты $C_{\lambda \mu \nu }\in \mathbb {N}$ называются коэффициентами Кронекера симметрической группы.Их можно вычислить по характерам представлений ( Fulton & Harris 2004 ):

C_{\lambda ,\mu ,\nu }=\sum _{\rho }{\frac {1}{z_{\rho }}}\chi _{\lambda }(C_{\rho })\chi _{\mu }(C_{\rho })\chi _{\nu }(C_{\rho })

Сумма превышает разделы $\rho$ из $n$ , с $C_{\rho }$ соответствующие классы сопряженности. Ценности персонажей $\chi _{\lambda }(C_{\rho })$ можно вычислить по формуле Фробениуса . Коэффициенты $z_{\rho }$ являются

z_{\rho }=\prod _{j=0}^{n}j^{i_{j}}i_{j}!={\frac {n!}{|C_{\rho }|}}

где $i_{j}$ это количество раз $j$ появляется в $\rho$ , так что $\sum i_{j}j=n$ .

Несколько примеров, написанных с использованием диаграмм Юнга ( Hamermesh 1989 ):

(n-1,1)\otimes (n-1,1)\cong (n)+(n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)

(n-1,1)\otimes (n-2,2){\underset {n>4}{\cong }}(n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,3)+(n-3,2,1)

(n-1,1)\otimes (n-2,1,1)\cong (n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,2,1)+(n-3,1,1,1)

{\begin{aligned}(n-2,2)\otimes (n-2,2)\cong &(n)+(n-1,1)+2(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,3)\\&+2(n-3,2,1)+(n-3,1,1,1)+(n-4,4)+(n-4,3,1)+(n-4,2,2)\end{aligned}}

Существует простое правило расчета. $(n-1,1)\otimes \lambda$ для любой диаграммы Юнга $\lambda$ ( Hamermesh 1989 ): результат представляет собой сумму всех диаграмм Юнга, полученных из $\lambda$ путем удаления одного поля, а затем добавления одного поля, где коэффициенты равны единице, за исключением $\lambda$ сам, коэффициент которого равен $\#\{\lambda _{i}\}-1$ , т. е. количество строк различной длины минус одна.

Ограничение на неприводимые составляющие $V_{\lambda }\otimes V_{\mu }$ есть ( Джеймс и Кербер, 1981 )

C_{\lambda ,\mu ,\nu }>0\implies |d_{\lambda }-d_{\mu }|\leq d_{\nu }\leq d_{\lambda }+d_{\mu }

где глубина $d_{\lambda }=n-\lambda _{1}$ диаграммы Юнга — это количество ячеек, не принадлежащих первой строке.

Приведенные коэффициенты Кронекера

Для $\lambda$ диаграмма Юнга и $n\geq \lambda _{1}$ , $\lambda [n]=(n-|\lambda |,\lambda )$ представляет собой диаграмму Юнга размера $n$ . Затем $C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}$ является ограниченной неубывающей функцией $n$ , и

{\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }=\lim _{n\to \infty }C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}

называется приведенным коэффициентом Кронекера ^[7] или стабильный коэффициент Кронекера . ^[8] Известны границы значений $n$ где $C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}$ достигает своего предела. ^[7] Приведенные коэффициенты Кронекера являются структурными константами категорий Делиня представлений $S_{n}$ с $n\in \mathbb {C} -\mathbb {N}$ . ^[9]

В отличие от коэффициентов Кронекера, приведенные коэффициенты Кронекера определяются для любой тройки диаграмм Юнга, не обязательно одного и того же размера. Если $|\nu |=|\lambda |+|\mu |$ , затем ${\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }$ совпадает с коэффициентом Литтлвуда-Ричардсона $c_{\lambda ,\mu }^{\nu }$ . ^[10] Приведенные коэффициенты Кронекера можно записать как линейные комбинации коэффициентов Литтлвуда-Ричардсона путем замены оснований в пространстве симметричных функций, что приводит к выражениям, которые являются явно целыми, но не явно положительными. ^[8] Приведенные коэффициенты Кронекера также можно записать через коэффициенты Кронекера и Литтлвуда-Ричардсона. $c_{\alpha \beta \gamma }^{\lambda }$ по формуле Литтлвуда ^[11]^[12]

{\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }=\sum _{\lambda ',\mu ',\nu ',\alpha ,\beta ,\gamma }C_{\lambda ',\mu ',\nu '}c_{\lambda '\beta \gamma }^{\lambda }c_{\mu '\alpha \gamma }^{\mu }c_{\nu '\alpha \beta }^{\nu }

И наоборот, можно восстановить коэффициенты Кронекера как линейные комбинации приведенных коэффициентов Кронекера. ^[7]

Приведенные коэффициенты Кронекера реализованы в системе компьютерной алгебры SageMath . ^[13]^[14]

Собственные значения комплексных представлений

Учитывая элемент $w\in S_{n}$ циклического типа $\mu =(\mu _{1},\mu _{2},\dots ,\mu _{k})$ и заказать $m={\text{lcm}}(\mu _{i})$ , собственные значения $w$ в сложном представлении $S_{n}$ относятся к типу $\omega ^{e_{j}}$ с $\omega =e^{\frac {2\pi i}{m}}$ , где целые числа $e_{j}\in {\frac {\mathbb {Z} }{m\mathbb {Z} }}$ называются циклическими показателями $w$ в отношении представительства. ^[15]

Дается комбинаторное описание циклических показателей симметрической группы (и их сплетений ). Определение $\left(b_{\mu }(1),\dots ,b_{\mu }(n)\right)=\left({\frac {m}{\mu _{1}}},2{\frac {m}{\mu _{1}}},\dots ,m,{\frac {m}{\mu _{2}}},2{\frac {m}{\mu _{2}}},\dots ,m,\dots \right)$ , пусть $\mu$ -индекс стандартной таблицы Юнга представляет собой сумму значений $b_{\mu }$ над спусками картины, ${\text{ind}}_{\mu }(T)=\sum _{k\in \{{\text{descents}}(T)\}}b_{\mu }(k){\bmod {m}}$ .Тогда циклические показатели представления $S_{n}$ описывается диаграммой Юнга $\lambda$ являются $\mu$ -индексы соответствующих таблиц Юнга. ^[15]

В частности, если $w$ в порядке $n$ , затем $b_{\mu }(k)=k$ , и ${\text{ind}}_{\mu }(T)$ совпадает с главным индексом $T$ (сумма спусков). Циклические показатели неприводимого представления $S_{n}$ затем опишите, как оно разлагается на представления циклической группы ${\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }}$ , с $\omega ^{e_{j}}$ интерпретируется как образ $w$ в (одномерном) представлении, характеризующемся $e_{j}$ .

См. также

Ссылки

^ Филип Р. Банкер и Пер Дженсен (1998) Молекулярная симметрия и спектроскопия , 2-е изд. NRC Research Press, Оттава [1] стр.198-202. ISBN 9780660196282
^ Р.Паунц (1995) Симметричная группа в квантовой химии ,CRC Press, Бока-Ратон, Флорида
^ Ричард Стэнли, Перечислительная комбинаторика, Vol. 2
^ Бернсайд, Уильям (1955), Теория групп конечного порядка , Нью-Йорк: Dover Publications , MR 0069818
^ Расала, Ричард (1977), «О минимальных степенях характеров Sn», Journal of Algebra , 45 (1): 132–181, doi : 10.1016/0021-8693(77)90366-0 , ISSN 0021-8693 , МР 0427445
^ Джеймс и Кербер 1981 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Бриан, Эммануэль; Орельяна, Роза; Росас, Мерседес (27 июля 2009 г.). «Устойчивость произведений Кронекера функций Шура». Журнал алгебры . 331 : 11–27. arXiv : 0907.4652 . дои : 10.1016/j.jalgebra.2010.12.026 . S2CID 16714030 .
^ Jump up to: ^а ^б Ассаф, Сами Х.; Шпейер, Дэвид Э. (26 сентября 2018 г.). «Модули Шпехта разлагаются как знакопеременные суммы ограничений модулей Шура». Труды Американского математического общества . 148 (3): 1015–1029. arXiv : 1809.10125 . дои : 10.1090/proc/14815 . S2CID 119692633 .
^ Энтова-Айзенбуд, Инна (06.07.2014). «Дизайн категорий и приведенные коэффициенты Кронекера». arXiv : 1407.1506v1 [ math.RT ].
^ Двир, Йоав (15 февраля 1996 г.). «О кронекеровском произведении Sn характеров» . Журнал алгебры . 154 : 125–140. дои : 10.1006/ябрь.1993.1008 .
^ Литтлвуд, Делавэр (1958). «Произведения и плетизмы символов с ортогональными, симплектическими и симметричными группами» . Канадский математический журнал . 10 . Канадское математическое общество: 17–32. дои : 10.4153/cjm-1958-002-7 . ISSN 0008-414X .
^ Орельяна, Роза; Заброцкий, Майк (23 сентября 2017 г.). «Произведения характеров симметричной группы». arXiv : 1709.08098v1 [ math.CO ].
^ Орельяна, Роза; Заброцкий, Майк (01 октября 2015 г.). «Симметричные групповые символы как симметричные функции (расширенное резюме)». arXiv : 1510.00438v2 [ math.CO ].
^ «Характеристики симметрической группы как базисы симметрических функций» . Sage 9.3 Справочное руководство: Комбинаторика . Проверено 5 июля 2021 г.
^ Jump up to: ^а ^б Стембридж, Джон (1 декабря 1989 г.). «О собственных значениях представлений групп отражений и сплетений» . Тихоокеанский математический журнал . 140 (2). Издательства математических наук: 353–396. дои : 10.2140/pjm.1989.140.353 . ISSN 0030-8730 .

Цитированные публикации

Фултон, Уильям; Харрис, Джо (2004). «Теория представлений». Тексты для аспирантов по математике . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-3-540-00539-1 . ISSN 0072-5285 .
Хамермеш, М. (1989). Теория групп и ее применение к физическим проблемам . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-66181-4 . OCLC 20218471 .
Джеймс, Гордон; Кербер, Адальберт (1981), Теория представлений симметричной группы , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 16, издательство Addison-Wesley Publishing Co., Ридинг, Массачусетс, ISBN 978-0-201-13515-2 , МР 0644144
Джеймс, Г.Д. (1983), «О минимальных размерностях неприводимых представлений симметричных групп», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 94 (3): 417–424, Бибкод : 1983MPCPS..94..417J , doi : 10.1017 /S0305004100000803 , ISSN 0305-0041 , MR 0720791 , S2CID 123113210

[1] Филип Р. Банкер и Пер Дженсен (1998) Молекулярная симметрия и спектроскопия , 2-е изд. NRC Research Press, Оттава [1] стр.198-202. ISBN 9780660196282

[2] Р.Паунц (1995) Симметричная группа в квантовой химии ,CRC Press, Бока-Ратон, Флорида

[3] Ричард Стэнли, Перечислительная комбинаторика, Vol. 2

[4] Бернсайд, Уильям (1955), Теория групп конечного порядка , Нью-Йорк: Dover Publications , MR 0069818

[5] Расала, Ричард (1977), «О минимальных степенях характеров Sn», Journal of Algebra , 45 (1): 132–181, doi : 10.1016/0021-8693(77)90366-0 , ISSN 0021-8693 , МР 0427445

[FOOTNOTEJamesKerber1981-6] Джеймс и Кербер 1981 .

[bor09-7] Jump up to: ^а ^б ^с Бриан, Эммануэль; Орельяна, Роза; Росас, Мерседес (27 июля 2009 г.). «Устойчивость произведений Кронекера функций Шура». Журнал алгебры . 331 : 11–27. arXiv : 0907.4652 . дои : 10.1016/j.jalgebra.2010.12.026 . S2CID 16714030 .

[as18-8] Jump up to: ^а ^б Ассаф, Сами Х.; Шпейер, Дэвид Э. (26 сентября 2018 г.). «Модули Шпехта разлагаются как знакопеременные суммы ограничений модулей Шура». Труды Американского математического общества . 148 (3): 1015–1029. arXiv : 1809.10125 . дои : 10.1090/proc/14815 . S2CID 119692633 .

[ent14-9] Энтова-Айзенбуд, Инна (06.07.2014). «Дизайн категорий и приведенные коэффициенты Кронекера». arXiv : 1407.1506v1 [ math.RT ].

[Dvir91-10] Двир, Йоав (15 февраля 1996 г.). «О кронекеровском произведении Sn характеров» . Журнал алгебры . 154 : 125–140. дои : 10.1006/ябрь.1993.1008 .

[lit58-11] Литтлвуд, Делавэр (1958). «Произведения и плетизмы символов с ортогональными, симплектическими и симметричными группами» . Канадский математический журнал . 10 . Канадское математическое общество: 17–32. дои : 10.4153/cjm-1958-002-7 . ISSN 0008-414X .

[oz17-12] Орельяна, Роза; Заброцкий, Майк (23 сентября 2017 г.). «Произведения характеров симметричной группы». arXiv : 1709.08098v1 [ math.CO ].

[oz15-13] Орельяна, Роза; Заброцкий, Майк (01 октября 2015 г.). «Симметричные групповые символы как симметричные функции (расширенное резюме)». arXiv : 1510.00438v2 [ math.CO ].

[sage-14] «Характеристики симметрической группы как базисы симметрических функций» . Sage 9.3 Справочное руководство: Комбинаторика . Проверено 5 июля 2021 г.

[ste89-15] Jump up to: ^а ^б Стембридж, Джон (1 декабря 1989 г.). «О собственных значениях представлений групп отражений и сплетений» . Тихоокеанский математический журнал . 140 (2). Издательства математических наук: 353–396. дои : 10.2140/pjm.1989.140.353 . ISSN 0030-8730 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]