Элемент Джусиса – Мерфи

В математике элементы Джусиса –Мерфи в групповой алгебре $\mathbb {C} [S_{n}]$ симметрической группы , названной в честь Альгимантаса Адольфаса Юциса и Г.Е. Мерфи, определяются как сумма транспозиций по формуле:

$X_{1}=0,~~~X_{k}=(1\;k)+(2\;k)+\cdots +(k-1\;k),~~~k=2,\dots ,n.$

Они играют важную роль в теории представлений симметрической группы .

Характеристики

Они порождают коммутативную подалгебру $\mathbb {C} [S_{n}]$. Более того, X _n коммутирует со всеми элементами $\mathbb {C} [S_{n-1}]$.

составляющие основу «полунормального представления» Юнга, являются собственными векторами действия Xn _{Векторы ,} . Для любой стандартной таблицы Юнга U имеем:

$X_{k}v_{U}=c_{k}(U)v_{U},~~~k=1,\dots ,n,$

где c _k ( U ) — содержимое b − a ячейки ( a , b ), занятой k в стандартной таблице Юнга U .

Теорема ( Jucys ): Центр $Z(\mathbb {C} [S_{n}])$ групповой алгебры $\mathbb {C} [S_{n}]$ симметрической группы порождается симметрическими полиномами от элементов X _k .

Теорема ( Jucys ): Пусть t — формальная переменная, коммутирующая со всем, тогда следующее тождество для многочленов от переменной t со значениями в групповой алгебре $\mathbb {C} [S_{n}]$ верно:

$(t+X_{1})(t+X_{2})\cdots (t+X_{n})=\sum _{\sigma \in S_{n}}\sigma t^{{\text{number of cycles of }}\sigma }.$

Theorem ( Okounkov – Vershik ): The subalgebra of $\mathbb {C} [S_{n}]$ генерируемые центрами

$Z(\mathbb {C} [S_{1}]),Z(\mathbb {C} [S_{2}]),\ldots ,Z(\mathbb {C} [S_{n-1}]),Z(\mathbb {C} [S_{n}])$

является в точности подалгеброй, порожденной элементами Джусиса–Мерфи X _k .

См. также

• Теория представлений симметрической группы
• Молодой симметризатор

Ссылки

• Окуньков Андрей ; Вершик, Анатолий (2004), «Новый подход к теории представлений симметричных групп. 2», Записки семинаров ПОМИ , 307 , arXiv : math.RT/0503040 (переработанная английская версия). {{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )

• Юсис, Альгимантас Адольфас (1974), «Симметрические полиномы и центр симметричного группового кольца», Rep. Mathematical Phys. , 5 (1): 107–112, Бибкод : 1974RpMP....5..107J , doi : 10.1016/0034-4877(74)90019-6

• Юцис, Альгимантас Адольфас (1966), «О молодых операторах симметрической группы» (PDF) , Литовский физический сборник , 6 : 163–180

• Юцис, Альгимантас Адольфас (1971), «Факторизация операторов проекции Юнга для симметричной группы» (PDF) , Литовский физический сборник , 11 : 5–10

• Мерфи, GE (1981), «Новая конструкция полунормального представления Юнга симметричной группы», J. Algebra , 69 (2): 287–297, doi : 10.1016/0021-8693(81)90205-2