Индикатриса Тиссо

В картографии ( индикатриса Тиссо индикатриса Тиссо , эллипс Тиссо , эллипс Тиссо , эллипс искажений ) (множественное число: «индикатрисы Тиссо») — математическое изобретение, представленное французским математиком Николя Огюстом Тиссо в 1859 и 1871 годах для характеристики локальных искажений, вызванных к картографическая проекция . Это геометрия, возникающая в результате бесконечно малого проецирования на карту круга радиуса из изогнутой геометрической модели, такой как глобус. Тиссо доказал, что полученная диаграмма представляет собой эллипс , оси которого указывают два основных направления, вдоль которых масштаб максимальный и минимальный в этой точке карты.

Одна индикатриса описывает искажение в одной точке. Поскольку искажение варьируется в зависимости от карты, обычно индикатрисы Тиссо размещаются поперек карты, чтобы проиллюстрировать пространственное изменение искажения. Общая схема размещает их на каждом пересечении отображаемых меридианов и параллелей. Эти схемы важны при изучении картографических проекций как для иллюстрации искажений, так и для обеспечения основы для расчетов, отражающих величину искажений точно в каждой точке. Поскольку все эллипсы на карте занимают одну и ту же площадь, искажения, вносимые картографической проекцией, очевидны.

существует взаимно однозначное соответствие . Между индикатрисой Тиссо и метрическим тензором преобразования координат картографической проекции ^{[ 1 ]}

Описание

Теория Тиссо была разработана в контексте картографического анализа . Обычно геометрическая модель представляет Землю и имеет форму сферы или эллипсоида .

Индикатрисы Тиссо иллюстрируют линейные, угловые и площадные искажения карт:

Карта искажает расстояния (линейное искажение) везде, где отношение длин бесконечно короткой линии, проецируемой на поверхность проекции, и той, которая изначально есть на модели Земли, отклоняется от 1. Это частное называется масштабным коэффициентом . Если проекция не конформна в рассматриваемой точке, масштабный коэффициент меняется в зависимости от направления вокруг точки.
Карта искажает углы там, где углы, измеренные на модели Земли, не сохраняются в проекции. Это выражается эллипсом искажения, который не является кругом.
Карта искажает области там, где площади, измеренные в модели Земли, не сохраняются в проекции. Это выражается эллипсами искажений, площади которых различаются по карте.

На конформных картах, где каждая точка сохраняет углы, проецируемые из геометрической модели, индикатрисы Тиссо представляют собой все круги, размер которых варьируется в зависимости от местоположения, возможно, также с различной ориентацией (учитывая, что четыре круговых квадранта разделены меридианами и параллелями ). В проекциях равной площади , где пропорции площадей между объектами сохраняются, все индикатрисы Тиссо имеют одинаковую площадь, хотя их форма и ориентация различаются в зависимости от местоположения. В произвольных проекциях на карте различаются как площадь, так и форма.

Карты мира, сравнивающие индикатрисы Тиссо в некоторых распространенных проекциях.
Equirectangular projection Mercator projection Gall–Peters projection Mollweide projection Winkel tripel projection Azimuthal equidistant projection Fuller projection Transverse Mercator projection Lambert cylindrical equal-area projection Sinusoidal projection Robinson projection Stereographic projection

Математика

На схеме ниже круг $ABCD$ имеет единичную площадь, определенную на поверхности сферы. Круг ${A'B'C'D'}$ - это индикатриса Тиссо, возникающая в результате некоторой проекции $ABCD$ на самолет. Линейный масштаб в этой проекции не сохранился, так как ${OA'\ncong OA}$ и $OB'\ncong OB$ . Потому что ${\angle M'OA'\ncong \angle MOA}$ , мы знаем, что имеется угловое искажение. Потому что $\operatorname {Area} (A'B'C'D')\neq \operatorname {Area} (ABCD)$ , мы знаем, что существует площадное искажение.

Исходный круг в приведенном выше примере имел радиус 1, но, имея дело с индикатрисой Тиссо, мы имеем дело с эллипсами бесконечно малого радиуса. Даже несмотря на то, что радиусы исходного круга и его эллипса искажения будут бесконечно малы, с помощью дифференциального исчисления отношения между ними все равно можно вычислить осмысленно. Например, если соотношение радиуса входной окружности и проецируемой окружности равно 1, то индикатриса рисуется как круг с площадью 1. Размер индикатрисы, рисуемой на карте, является произвольным: все они масштабируются с одинаковым коэффициентом, так что их размеры пропорциональны друг другу. Нравиться $M$ на схеме оси от $O$ вдоль параллели и вдоль меридиана могут претерпевать изменение длины и поворот во время проецирования. Для данной точки в литературе принято представлять масштаб вдоль меридиана как $h$ а масштаб вдоль параллели как $k$ . Если проекция не конформна, все углы, кроме угла, опирающегося на большую полуось и малую полуось эллипса, также могут измениться. Определенный угол изменится больше всего, и значение этого максимального изменения известно как угловая деформация, обозначаемая как $\theta$ . В общем, какой это угол и как он ориентирован, не имеет большого значения при анализе искажений; важна именно величина изменения. Значения $h$ , $k$ , и $\theta$ можно вычислить следующим образом: ^{[ 2 ]}^: 24

${\begin{aligned}h&={\frac {1}{R}}{\sqrt {{{\left({\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\right)}^{2}}+{{\left({\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\right)}^{2}}}}\\[4pt]k&={\frac {1}{R\cos \varphi }}{\sqrt {{{\left({\frac {\partial x}{\partial \lambda }}\right)}^{2}}+{{\left({\frac {\partial y}{\partial \lambda }}\right)}^{2}}}}\\[4pt]\sin \theta '&={\frac {1}{R^{2}hk\cos \varphi }}\left({{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}{\frac {\partial x}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}}\right)\\[4pt]a'&={\sqrt {{h^{2}}+{k^{2}}+2hk\sin \theta '}},\quad b'={\sqrt {{h^{2}}+{k^{2}}-2hk\sin \theta '}}\\[4pt]a&={\frac {a'+b'}{2}},\quad b={\frac {a'-b'}{2}}\\[4pt]s&=hk\sin \theta '\\[4pt]\omega &=2\arcsin {\frac {b'}{a'}}\end{aligned}}$

где $\varphi$ и $\lambda$ - координаты широты и долготы точки, $R$ - радиус земного шара, а $x$ и $y$ — результирующие координаты точки после проецирования.

В результате для любой заданной точки $a$ и $b$ – максимальный и минимальный масштабные коэффициенты, аналогичные большой и малой полуосям на диаграмме; $s$ представляет собой величину инфляции или дефляции в регионе, и $\omega$ представляет собой максимальное угловое искажение.

Для конформных проекций, таких как проекция Меркатора , $h=k$ и $\theta ={\pi \over 2}$ , такой, что в каждой точке эллипс вырождается в круг, радиус которого равен масштабному коэффициенту.

Для равной площади, такой как синусоидальная проекция , большая полуось эллипса является обратной малой полуосью, так что каждый эллипс имеет одинаковую площадь, даже если их эксцентриситет различается.

Для произвольных проекций форма и площадь эллипсов в каждой точке во многом независимы друг от друга. ^{[ 3 ]}

Альтернативный вывод для численных вычислений

Другой способ понять и вывести индикатрису Тиссо — использовать дифференциальную геометрию поверхностей. ^{[ 4 ]} Этот подход хорошо поддается современным численным методам, поскольку параметры индикатрисы Тиссо могут быть вычислены с использованием разложения по сингулярным значениям (SVD) и аппроксимации центральной разности .

Дифференциальное расстояние на эллипсоиде

Let a 3D point, ${\hat {X}}$ , на эллипсоиде параметризоваться как:

{\hat {X}}(\lambda ,\phi )=\left[{\begin{matrix}N\cos {\lambda }\cos {\phi }\\-N(1-e^{2})\sin {\phi }\\N\sin {\lambda }\cos {\phi }\end{matrix}}\right]

где $(\lambda ,\phi )$ - долгота и широта соответственно, и $N$ является функцией экваториального радиуса, $R$ и эксцентриситет, $e$ :

N={\frac {R}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}(\phi )}}}

Элемент расстояния на сфере, $ds$ определяется первой фундаментальной формой :

ds^{2}={\begin{bmatrix}d\lambda &d\phi \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\lambda \\d\phi \end{bmatrix}}

коэффициенты которого определяются как:

{\begin{aligned}&E={\frac {\partial {\hat {X}}}{\partial \lambda }}{\boldsymbol {\cdot }}{\frac {\partial {\hat {X}}}{\partial \lambda }}\\&F={\frac {\partial {\hat {X}}}{\partial \lambda }}{\boldsymbol {\cdot }}{\frac {\partial {\hat {X}}}{\partial \phi }}\\&G={\frac {\partial {\hat {X}}}{\partial \phi }}{\boldsymbol {\cdot }}{\frac {\partial {\hat {X}}}{\partial \phi }}\\\end{aligned}}

Вычисление необходимых производных дает:

{\frac {\partial {\hat {X}}}{\partial \lambda }}=\left[{\begin{matrix}-N\sin {\lambda }\cos {\phi }\\0\\N\cos {\lambda }\cos {\phi }\end{matrix}}\right]\qquad \qquad {\frac {\partial {\hat {X}}}{\partial \phi }}=\left[{\begin{matrix}-M\cos {\lambda }\sin {\phi }\\-M\cos {\phi }\\M\sin {\lambda }\sin {\phi }\end{matrix}}\right]

где $M$ является функцией экваториального радиуса, $R$ , а эксцентриситет эллипсоида $e$ :

M={\frac {R(1-e^{2})}{(1-e^{2}\sin ^{2}(\phi ))^{\frac {3}{2}}}}

Подстановка этих значений в первую фундаментальную форму дает формулу для элементарного расстояния на эллипсоиде:

ds^{2}=\left(N\cos {\phi }\right)^{2}d\lambda ^{2}+M^{2}d\phi ^{2}

Этот результат связывает величину расстояния на поверхности эллипсоида с функцией сферической системы координат.

Преобразование элемента расстояния

Напомним, что цель индикатрисы Тиссо — показать, как изменяются расстояния на сфере при отображении на плоскую поверхность. В частности, искомое отношение - это преобразование ${\mathcal {T}}$ который связывает дифференциальное расстояние вдоль оснований сферической системы координат с дифференциальным расстоянием вдоль оснований декартовой системы координат на плоской карте. Это можно выразить соотношением:

{\begin{bmatrix}dx\\dy\end{bmatrix}}={\mathcal {T}}{\begin{bmatrix}ds(\lambda ,0)\\ds(0,\phi )\end{bmatrix}}

где $ds(\lambda ,0)$ и $ds(0,\phi )$ представляют собой вычисление $ds$ по продольной и широтной осям соответственно. Расчет $ds(\lambda ,0)$ и $ds(0,\phi )$ может быть выполнено непосредственно из приведенного выше уравнения, что дает:

{\begin{aligned}&ds(\lambda ,0)=N\cos(\phi )d\lambda \\&ds(0,\phi )=Md\phi \end{aligned}}

Для целей этого вычисления полезно выразить эту связь в виде матричной операции:

{\begin{bmatrix}d\lambda \\d\phi \end{bmatrix}}=K{\begin{bmatrix}ds(\lambda ,0)\\ds(0,\phi )\end{bmatrix}},\qquad K={\begin{bmatrix}{\frac {1}{N\cos {\phi }}}&0\\0&{\frac {1}{M}}\end{bmatrix}}

Теперь, чтобы связать расстояния на поверхности эллипсоида с расстояниями на плоскости, нам нужно связать системы координат. Из правила цепочки мы можем написать:

{\begin{bmatrix}dx\\dy\end{bmatrix}}=J{\begin{bmatrix}d\lambda \\d\phi \end{bmatrix}}

где J — матрица Якобиана :

J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial x}{\partial \phi }}\\{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial y}{\partial \phi }}\end{bmatrix}}

Подставляя матричное выражение для $d\lambda$ и $d\phi$ дает определение преобразования ${\mathcal {T}}$ представлен индикатрисой:

{\begin{bmatrix}dx\\dy\end{bmatrix}}=JK{\begin{bmatrix}ds(\lambda ,0)\\ds(0,\phi )\end{bmatrix}}

{\mathcal {T}}=JK

Это преобразование ${\mathcal {T}}$ инкапсулирует отображение поверхности эллипсоида на плоскость. Выраженный в этой форме, SVD может использоваться для выделения важных компонентов местной трансформации.

Численный расчет и СВД

Чтобы извлечь желаемую информацию об искажениях, в любом заданном месте сферической системы координат значения $K$ можно вычислить напрямую. Якобиан, $J$ , можно вычислить аналитически на основе самой функции отображения, но часто проще численно аппроксимировать значения в любом месте на карте, используя центральные разности . После того, как эти значения вычислены, SVD можно применить к каждой матрице преобразования для извлечения информации о локальных искажениях. Помните, что поскольку искажение является локальным, каждое место на карте будет претерпевать собственную трансформацию.

Напомним определение СВД:

\mathrm {SVD} ({\mathcal {T}})=U\Lambda V^{T}

Это разложение трансформации, ${\mathcal {T}}$ , во вращение в исходной области (т. е. поверхности эллипсоида), $V^{T}$ , масштабирование по базису, $\Lambda$ и последующий второй поворот, $U$ . Для понимания искажения первое вращение не имеет значения, поскольку оно вращает оси круга, но не имеет никакого отношения к окончательной ориентации эллипса. Следующая операция, представленная диагональной матрицей сингулярных значений, масштабирует круг по его осям, деформируя его до эллипса. Таким образом, сингулярные значения представляют собой масштабные коэффициенты вдоль осей эллипса. Первое сингулярное значение определяет большую полуось, $a$ , а второй обеспечивает малую полуось, $b$ , которые являются коэффициентами направленного масштабирования искажений. Искажение масштаба можно вычислить как площадь эллипса: $ab$ или, что то же самое, определителем ${\mathcal {T}}$ . Наконец, ориентация эллипса, $\theta$ , можно извлечь из первого столбца $U$ как:

\theta =\arctan \left({\frac {u_{1,0}}{u_{0,0}}}\right)

Галерея

Поперечная проекция Меркатора с индикатрисами Тиссо.
Стереографическая проекция с индикатрисами Тиссо.
Синусоидальная проекция с индикатрисами Тиссо.
с Квинкунциальная проекция Пирса индикатрисами Тиссо.
с Цилиндрическая проекция Миллера индикатрисами Тиссо.
с Проекция Хаммера индикатрисами Тиссо.
Азимутальная эквидистантная проекция с индикатрисами Тиссо.
Проекция Фуллера с индикатрисами Тиссо.

Ссылки

^ Голдберг, Дэвид М.; Готт III, Дж. Ричард (2007). «Изгиб и асимметрия картографических проекций Земли» (PDF) . Картографика . 42 (4): 297–318. arXiv : astro-ph/0608501 . дои : 10.3138/carto.42.4.297 . S2CID 11359702 . Проверено 14 ноября 2011 г.
^ Снайдер, Джон П. (1987). Картографические проекции. Руководство по работе . Профессиональная бумага 1395. Денвер: Геологическая служба США . п. 383. ИСБН 978-1782662228 . Проверено 26 ноября 2015 г.
^ Более общий пример индикатрисы Тиссо: трипельная проекция Винкеля.
^ Ласковский, Петр (1989). «Традиционный и современный взгляд на индикатрису Тиссо». Американский картограф . 16 (2): 123–133. дои : 10.1559/152304089783875497 .

Внешние ссылки

Java-апплет с интерактивными проекциями, показывающими индикатрису Тиссо.

[Goldberg-Gott-1] Голдберг, Дэвид М.; Готт III, Дж. Ричард (2007). «Изгиб и асимметрия картографических проекций Земли» (PDF) . Картографика . 42 (4): 297–318. arXiv : astro-ph/0608501 . дои : 10.3138/carto.42.4.297 . S2CID 11359702 . Проверено 14 ноября 2011 г.

[SnyderManual-2] Снайдер, Джон П. (1987). Картографические проекции. Руководство по работе . Профессиональная бумага 1395. Денвер: Геологическая служба США . п. 383. ИСБН 978-1782662228 . Проверено 26 ноября 2015 г.

[3] Более общий пример индикатрисы Тиссо: трипельная проекция Винкеля.

[moderntissot-4] Ласковский, Петр (1989). «Традиционный и современный взгляд на индикатрису Тиссо». Американский картограф . 16 (2): 123–133. дои : 10.1559/152304089783875497 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]