Кольцо целых чисел

В математике кольцо целых чисел поля алгебраических чисел. $K$ — кольцо всех целых алгебраических чисел, содержащихся в $K$ . ^[1] Алгебраическое целое число является корнем монического многочлена с целыми коэффициентами : $x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{0}$ . ^[2] Это кольцо часто обозначается $O_{K}$ или ${\mathcal {O}}_{K}$ . Поскольку любое целое число принадлежит $K$ и является неотъемлемым элементом $K$ , кольцо $\mathbb {Z}$ всегда подкольцом является $O_{K}$ .

Кольцо целых чисел $\mathbb {Z}$ — простейшее возможное кольцо целых чисел. ^[а] А именно, $\mathbb {Z} =O_{\mathbb {Q} }$ где $\mathbb {Q}$ это поле рациональных чисел . ^[3] И действительно, в теории алгебраических чисел элементы $\mathbb {Z}$ Из-за этого их часто называют «рациональными целыми числами».

Следующий простейший пример — кольцо гауссовских целых чисел. $\mathbb {Z} [i]$ , состоящий из комплексных чисел которых , действительная и мнимая части являются целыми числами. Это кольцо целых чисел в числовом поле $\mathbb {Q} (i)$ гауссовых рациональных чисел , состоящих из комплексных чисел, действительная и мнимая части которых являются рациональными числами. Подобно целым рациональным числам, $\mathbb {Z} [i]$ является евклидовой областью .

Кольцо целых чисел поля алгебраических чисел — это единственный максимальный порядок в поле. Это всегда домен Дедекинда . ^[4]

Характеристики

Кольцо целых чисел $O K$ является конечно-порожденным $Z$ - модулем . Действительно, это свободный $Z$ -модуль и, следовательно, имеет базис , то есть базис $b 1, ..., b n \in OK Q$ пространства $-$ векторного K $такой$ , что каждый элемент $x$ в $OK целочисленный$ может быть уникально представлен как

x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},

с $я € Z$ . ^[5] Ранг $n$ OK $ Z$ свободного $Q$ равен степени K $-модуля$ над $.$ как

Примеры

Вычислительный инструмент

Полезным инструментом для вычисления целого замыкания кольца целых чисел в алгебраическом поле $K / Q$ является дискриминант . Если $K$ имеет степень $n$ над $Q$ и $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in {\mathcal {O}}_{K}$ образуют базис $K$ над $Q$ , положим $d=\Delta _{K/\mathbb {Q} }(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ . Затем, ${\mathcal {O}}_{K}$ является подмодулем Z $,$ -модуля натянутым на $\alpha _{1}/d,\ldots ,\alpha _{n}/d$ . ^[6] ^{стр. 33} Действительно, если $d$ свободно от квадратов, то $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ составляет неотъемлемую основу для ${\mathcal {O}}_{K}$ . ^[6] ^{стр. 35}

Циклотомные расширения

Если $p$ — простое число , $ζ$ — $корень p-$ й степени из единицы и $K = Q (ζ)$ — соответствующее круговое поле , то целочисленный базис $O K = Z [ζ]$ задается формулой $(1, ζ, ζ 2, ..., г р -2)$ . ^[7]

Квадратичные расширения

Если $d$ представляет собой целое число без квадратов и $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ – соответствующее квадратичное поле , то ${\mathcal {O}}_{K}$ является кольцом целых квадратичных чисел , и его целая база определяется формулой $(1, (1 + \sqrt d)/2)$ , если $d \equiv 1 (mod 4)$ , и $(1, \sqrt d),$ если $d \equiv 2, 3 (mod 4) . )$ . ^[8] Это можно найти, вычислив минимальный полином произвольного элемента. $a+b{\sqrt {d}}\in \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})$ где $a,b\in \mathbf {Q}$ .

Мультипликативная структура

В кольце целых чисел каждый элемент имеет факторизацию на неприводимые элементы , но кольцо не обязательно должно обладать свойством однозначной факторизации : например, в кольце целых чисел $Z [\sqrt -5]$ элемент 6 имеет две существенно разные факторизации. на неприводимые: ^[4]^[9]

6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}}).

Кольцо целых чисел всегда является дедекиндовой областью и поэтому имеет уникальную факторизацию идеалов в простые идеалы . ^[10]

Единицы конечно кольца целых чисел $— OK$ по порожденная абелева группа теореме Дирихле о единицах . состоит Круглая подгруппа из корней из K $единицы$ . Набор образующих без кручения называется набором фундаментальных единиц . ^[11]

Обобщение

Кольцо целых чисел неархимедова локального поля $F$ определяется как множество всех элементов $F$ с абсолютным значением $\leq 1$ ; это кольцо из-за сильного неравенства треугольника. ^[12] Если $F$ является пополнением поля алгебраических чисел, его кольцо целых чисел является пополнением кольца целых чисел последнего. Кольцо целых чисел поля алгебраических чисел можно охарактеризовать как элементы, которые являются целыми числами в каждом неархимедовом пополнении. ^[3]

Например, $целые p$ -адические числа $Z p$ представляют собой кольцо целых $p$ -адических чисел $Q p$ .

См. также

Минимальный полином (теория поля)
Интегральное замыкание - дает метод расчета интегральных замыканий.

Примечания

^ Кольцо целых чисел без указания поля относится к кольцу $\mathbb {Z}$ «обычных» целых чисел — прототип всех этих колец. Это следствие неоднозначности слова « целое число » в абстрактной алгебре.

Цитаты

^ Алака и Уильямс 2003 , с. 110, Защита. 6.1.2-3.
^ Алака и Уильямс 2003 , с. 74, Защита. 4.1.1-2.
^ Jump up to: ^а ^б Кассельс 1986 , с. 192.
^ Jump up to: ^а ^б Сэмюэл 1972 , с. 49.
^ Кассельс (1986) с. 193
^ Jump up to: ^а ^б Бейкер. «Алгебраическая теория чисел» (PDF) . стр. 33–35.
^ Самуэль 1972 , с. 43.
^ Самуэль 1972 , с. 35.
^ Артин, Майкл (2011). Алгебра . Прентис Холл. п. 360. ИСБН 978-0-13-241377-0 .
^ Самуэль 1972 , с. 50.
^ Сэмюэл 1972 , стр. 59–62.
^ Кассельс 1986 , с. 41.

Ссылки

Аладжа, Сабан; Уильямс, Кеннет С. (2003). Введение в алгебраическую теорию чисел . Издательство Кембриджского университета . ISBN 9780511791260 .
Кассельс, JWS (1986). Локальные поля . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 3. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-31525-5 . Збл 0595.12006 .
Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Основные принципы математических наук . Том 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . МР 1697859 . Збл 0956.11021 .
Самуэль, Пьер (1972). Алгебраическая теория чисел . Германн/Кершоу.

[3] Кольцо целых чисел без указания поля относится к кольцу $\mathbb {Z}$ «обычных» целых чисел — прототип всех этих колец. Это следствие неоднозначности слова « целое число » в абстрактной алгебре.

[FOOTNOTEAlacaWilliams2003110Defs._6.1.2-3-1] Алака и Уильямс 2003 , с. 110, Защита. 6.1.2-3.

[FOOTNOTEAlacaWilliams200374Defs._4.1.1-2-2] Алака и Уильямс 2003 , с. 74, Защита. 4.1.1-2.

[FOOTNOTECassels1986192-4] Jump up to: ^а ^б Кассельс 1986 , с. 192.

[FOOTNOTESamuel197249-5] Jump up to: ^а ^б Сэмюэл 1972 , с. 49.

[Cas193-6] Кассельс (1986) с. 193

[:0-7] Jump up to: ^а ^б Бейкер. «Алгебраическая теория чисел» (PDF) . стр. 33–35.

[FOOTNOTESamuel197243-8] Самуэль 1972 , с. 43.

[FOOTNOTESamuel197235-9] Самуэль 1972 , с. 35.

[10] Артин, Майкл (2011). Алгебра . Прентис Холл. п. 360. ИСБН 978-0-13-241377-0 .

[FOOTNOTESamuel197250-11] Самуэль 1972 , с. 50.

[FOOTNOTESamuel197259–62-12] Сэмюэл 1972 , стр. 59–62.

[FOOTNOTECassels198641-13] Кассельс 1986 , с. 41.

[1]

[2]

[а]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]