Трансфинитное число

В математике конечные трансфинитные числа или бесконечные числа — это числа, которые являются « бесконечными » в том смысле, что они больше, чем все числа . К ним относятся трансфинитные кардиналы , которые представляют собой кардинальные числа, используемые для количественной оценки размера бесконечных множеств, и трансфинитные ординалы , которые представляют собой порядковые числа, используемые для упорядочения бесконечных множеств. ^[1]^[2] Термин «трансфинит» был придуман в 1895 году Георгом Кантором . ^[3]^[4]^[5]^[6] который хотел избежать некоторых значений слова «бесконечный» в связи с этими объектами, которые, тем не менее, не были конечными . ^{[ нужна ссылка ]} Лишь немногие современные писатели разделяют эти сомнения; Сейчас принято называть трансфинитные кардиналы и порядковые числа бесконечными числами . Тем не менее, термин трансфинитный также продолжает использоваться.

Заметная работа по трансфинитным числам была проделана Вацлавом Серпинским : Leçons sur les nombres transfinis (книга 1928 года), значительно расширенная до кардинальных и порядковых чисел (1958, ^[7] 2-е изд. 1965 год ^[8]).

Определение

Любое конечное натуральное число можно использовать как минимум двумя способами: как порядковое и как кардинальное. Кардинальные числительные определяют размер наборов (например, мешок с пятью шариками), тогда как порядковые числительные определяют порядок членов в упорядоченном наборе. ^[9] (например, « третий мужчина слева» или « двадцать седьмой день января»). При распространении на трансфинитные числа эти два понятия больше не находятся во взаимно однозначном соответствии . Трансфинитное кардинальное число используется для описания размера бесконечно большого множества. ^[2] в то время как трансфинитный порядковый номер используется для описания местоположения внутри бесконечно большого упорядоченного набора. ^[9]^{[ не удалось пройти проверку ]} Наиболее заметными порядковыми и кардинальными числительными являются соответственно:

$\omega$ ( Омега ): наименьшее трансфинитное порядковое число. Это также тип порядка натуральных чисел при их обычном линейном порядке.
$\aleph _{0}$ ( Алеф-нуль ): первое трансфинитное кардинальное число. Это также мощность натуральных чисел. Если выбранная аксиома верна, следующее более высокое кардинальное число — алеф-один , $\aleph _{1}.$ Если нет, то могут существовать другие кардиналы, несравнимые с алеф-он и большие, чем алеф-нуль. В любом случае между алеф-нуль и алеф-один нет кардиналов.

Гипотеза континуума — это утверждение, что между ними нет промежуточных кардинальных чисел. $\aleph _{0}$ и мощность континуума (мощность множества действительных чисел ): ^[2] или, что эквивалентно, что $\aleph _{1}$ — мощность множества действительных чисел. В теории множеств Цермело–Френкеля невозможно доказать ни гипотезу континуума, ни ее отрицание.

Некоторые авторы, в том числе П. Суппес и Дж. Рубин, используют термин «трансфинитный кардинал» для обозначения мощности дедекиндово-бесконечного множества в контекстах, где это может не быть эквивалентно «бесконечному кардиналу»; то есть в контекстах, где аксиома счетного выбора не предполагается или не известно, что она выполняется. Учитывая это определение, все следующие выражения эквивалентны:

${\mathfrak {m}}$ является трансфинитным кардиналом. То есть существует дедекиндово бесконечное множество $A$ такая, что мощность $A$ является ${\mathfrak {m}}.$
${\mathfrak {m}}+1={\mathfrak {m}}.$
$\aleph _{0}\leq {\mathfrak {m}}.$
Есть кардинал ${\mathfrak {n}}$ такой, что $\aleph _{0}+{\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}.$

Хотя трансфинитные ординалы и кардиналы обобщают только натуральные числа, другие системы чисел, включая гипердействительные числа и сюрреалистические числа , обеспечивают обобщения действительных чисел . ^[10]

Примеры

В теории порядковых чисел Кантора каждое целое число должно иметь преемника. ^[11] Следующее целое число после всех обычных, то есть первое бесконечное целое, называется $\omega$ . В этом контексте $\omega +1$ больше, чем $\omega$ , и $\omega \cdot 2$ , $\omega ^{2}$ и не удалось проанализировать (SVG (MathML можно включить через плагин браузера): неверный ответ («Расширение Math не может подключиться к Restbase.») с сервера «http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/»: ): {\displaystyle \omega^{\omega}} они еще крупнее. Арифметические выражения, содержащие $\omega$ укажите порядковый номер, и его можно рассматривать как набор всех целых чисел до этого числа. Данное число обычно имеет несколько выражений, которые его представляют, однако существует уникальная нормальная форма Кантора , которая его представляет: ^[11] по существу, конечная последовательность цифр, которые дают коэффициенты убывающих степеней $\omega$ .

Однако не все бесконечные целые числа могут быть представлены нормальной формой Кантора, и первое из них, которое не может быть представлено пределом $\omega ^{\omega ^{\omega ^{...}}}$ и называется $\varepsilon _{0}$ . ^[11] $\varepsilon _{0}$ это самое маленькое решение $\omega ^{\varepsilon }=\varepsilon$ и следующие решения $\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{\omega },...,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},...$ давать еще большие порядковые номера, и за ними можно следовать до тех пор, пока не будет достигнут предел $\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{...}}}$ , что является первым решением $\varepsilon _{\alpha }=\alpha$ . Это означает, что для того, чтобы иметь возможность указывать все трансфинитные целые числа, нужно придумать бесконечную последовательность имен: потому что, если бы нужно было указать одно наибольшее целое число, тогда всегда можно было бы упомянуть его больший преемник. Но, как заметил Кантор, ^{[ нужна ссылка ]} даже это позволяет достичь только низшего класса трансфинитных чисел: тех, размер множеств которых соответствует кардинальному числу. $\aleph _{0}$ .

См. также

Ссылки

^ «Определение трансфинитного числа | Dictionary.com» . www.dictionary.com . Проверено 4 декабря 2019 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с «Трансфинитные числа и теория множеств» . www.math.utah.edu . Проверено 4 декабря 2019 г.
^ «Георг Кантор | Биография, вклады, книги и факты» . Британская энциклопедия . Проверено 4 декабря 2019 г.
^ Георг Кантор (ноябрь 1895 г.). «Вклад в обоснование трансфинитной теории множеств (1)» . Математические летописи . 46 (4): 481–512.
^ Георг Кантор (июль 1897 г.). «Вклад в обоснование трансфинитной теории множеств (2)» . Математические летописи . 49 (2): 207–246.
^ Георг Кантор (1915). Филип Э.Б. Журден (ред.). Вклад в создание теории трансфинитных чисел (PDF) . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. Английский перевод Кантора (1895, 1897).
^ Окстоби, Дж. К. (1959), «Обзор кардинальных и порядковых чисел (1-е изд.)», Бюллетень Американского математического общества , 65 (1): 21–23, doi : 10.1090/S0002-9904-1959-10264-0 , МР 1565962
^ Гудстейн, Р.Л. (декабрь 1966 г.), «Обзор кардинальных и порядковых чисел (2-е изд.)», The Mathematical Gazette , 50 (374): 437, doi : 10.2307/3613997 , JSTOR 3613997
^ Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. (3 мая 2023 г.). «Порядковый номер» . mathworld.wolfram.com .
^ Бейер, Вашингтон; Лук, JD (1997), «Итерация трансфинитной функции и сюрреалистические числа», Advances in Applied Mathematics , 18 (3): 333–350, doi : 10.1006/aama.1996.0513 , MR 1436485
^ Jump up to: ^а ^б ^с Джон Хортон Конвей (1976) О числах и играх . Академическое издательство, ISBN 0-12-186350-6. (См. главу 3.)

Библиография

Леви, Азриэль, 2002 (1978) Теория базовых множеств . Дуврские публикации. ISBN 0-486-42079-5
О'Коннор, Дж. Дж. и Э. Ф. Робертсон (1998) « Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор », Архив истории математики MacTutor .
Рубин, Жан Э. , 1967. «Теория множеств для математика». Сан-Франциско: Холден-Дэй. Основан на теории множеств Морса-Келли .
Руди Ракер , 2005 (1982) Бесконечность и разум . Принстонский университет. Нажимать. В первую очередь исследование философского значения канторовского рая . ISBN 978-0-691-00172-2 .
Патрик Суппес , 1972 (1960) « Аксиоматическая теория множеств ». Дувр. ISBN 0-486-61630-4 . Основан на ZFC .

[1] «Определение трансфинитного числа | Dictionary.com» . www.dictionary.com . Проверено 4 декабря 2019 г.

[:0-2] Jump up to: ^а ^б ^с «Трансфинитные числа и теория множеств» . www.math.utah.edu . Проверено 4 декабря 2019 г.

[3] «Георг Кантор | Биография, вклады, книги и факты» . Британская энциклопедия . Проверено 4 декабря 2019 г.

[4] Георг Кантор (ноябрь 1895 г.). «Вклад в обоснование трансфинитной теории множеств (1)» . Математические летописи . 46 (4): 481–512.

[5] Георг Кантор (июль 1897 г.). «Вклад в обоснование трансфинитной теории множеств (2)» . Математические летописи . 49 (2): 207–246.

[6] Георг Кантор (1915). Филип Э.Б. Журден (ред.). Вклад в создание теории трансфинитных чисел (PDF) . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. Английский перевод Кантора (1895, 1897).

[oxtoby-7] Окстоби, Дж. К. (1959), «Обзор кардинальных и порядковых чисел (1-е изд.)», Бюллетень Американского математического общества , 65 (1): 21–23, doi : 10.1090/S0002-9904-1959-10264-0 , МР 1565962

[goodstein-8] Гудстейн, Р.Л. (декабрь 1966 г.), «Обзор кардинальных и порядковых чисел (2-е изд.)», The Mathematical Gazette , 50 (374): 437, doi : 10.2307/3613997 , JSTOR 3613997

[:1-9] Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. (3 мая 2023 г.). «Порядковый номер» . mathworld.wolfram.com .

[10] Бейер, Вашингтон; Лук, JD (1997), «Итерация трансфинитной функции и сюрреалистические числа», Advances in Applied Mathematics , 18 (3): 333–350, doi : 10.1006/aama.1996.0513 , MR 1436485

[ONG-11] Jump up to: ^а ^б ^с Джон Хортон Конвей (1976) О числах и играх . Академическое издательство, ISBN 0-12-186350-6. (См. главу 3.)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

v т и Бесконечность ( $\infty$ )
История	Ананта (бесконечности) Апейрон Споры по поводу теории Кантора Парадокс Галилея Парадокс Гильберта о Гранд-отеле Бесконечность (философия) Парадоксы бесконечности Парадоксы теории множеств
Отрасли математики	Комплексный анализ Теория внутренних множеств Нестандартный анализ Теория множеств Синтетическая дифференциальная геометрия
Формализации бесконечности	0.999... Абсолютная бесконечность Фактическая бесконечность Число Алеф Число Бет Кардинальные числа Мощность континуума Бесконечное множество Дедекинда Направленная бесконечность Деление на ноль (комплексная бесконечность) Число Эпсилон Функция Гимеля Гильбертово пространство Гиперреальные числа Бесконечный набор бесконечно малый Порядковые номера Точка в бесконечности Обычный кардинал Сфера на бесконечности (группа Клейна) Суперзадача Сюрреалистические цифры Трансфинитные числа
Геометрии	Дифференциальная геометрия поверхностей план Мёбиуса Преобразование Мёбиуса Риманово многообразие
Математики	Георг Кантор Дэвид Хилберт Готфрид Вильгельм Лейбниц Август Фердинанд Мёбиус Бернхард Риман Авраам Робинсон