Гомологическая стабильность

В математике гомологическая устойчивость — это любая из ряда теорем, утверждающих, что групповая гомология ряда групп $G_{1}\subset G_{2}\subset \cdots$ является стабильным, т.е.

$H_{i}(G_{n})$

не зависит от n , когда n достаточно велико (в зависимости от i ). Наименьшее n такое, что отображения $H_{i}(G_{n})\to H_{i}(G_{n+1})$является изоморфизмом, называется стабильным диапазоном . Концепция гомологической стабильности была впервые предложена Дэниелом Квилленом, чья техника доказательства была адаптирована в различных ситуациях.

Примеры

Примеры таких групп включают следующее:

группа	имя
симметричная группа $S_{n}$	Стабильность Накаока
группа кос $B_{n}$
общая линейная группа $\operatorname {GL} _{n}(R)$ для (некоторых) колец R
группа классов отображения поверхностей ( n - род поверхности)	Стабильность Харера
группа автоморфизмов свободных групп , $\operatorname {Aut} (F_{n})$

Приложения

В некоторых случаях гомологии группы

$G_{\infty }=\bigcup _{n}G_{n}$

может быть вычислено другими способами или связано с другими данными. Например, теорема Баррата – Придди связывает гомологии бесконечной симметрической группы с пространствами отображений сфер. Это также можно сформулировать как соотношение между конструкцией плюсовой $\operatorname {BS} _{\infty }$и сферический спектр . Аналогичным образом, гомология $\operatorname {GL} _{\infty }(R)$ связано через +-конструкцию с алгебраической K- теорией R .