Факторная система

В математике факторная система (иногда называемая набором факторов ) является фундаментальным инструментом Отто Шрайера классической теории для решения проблемы расширения группы . Он состоит из набора автоморфизмов и бинарной функции на группе, удовлетворяющей определенному условию (так называемому условию коцикла ). Фактически фактор-система представляет собой реализацию коциклов второй группы когомологий в групповых когомологиях .

Введение

Предположим, G — группа, а A — абелева группа . Для расширения группы

$1\to A\to X\to G\to 1,$

существует фактор-система, состоящая из функции f : G × G → A и гомоморфизма σ : G → Aut( A ) такой, что она превращает декартово произведение G × A в группу X как

$(g,a)*(h,b):=(gh,f(g,h)a^{\sigma (h)}b).$

Таким образом, f должен быть «групповым 2-коциклом» (и, таким образом, определять элемент в H ² ( G , A ), изучаемые в групповых когомологиях ). На самом деле A ситуация сложнее. не обязательно должна быть абелевой, но для неабелевых групп

Если f тривиально, то X над A так что X является полупрямым произведением G распадается с A. ,

Если групповая алгебра задана , то фактор-система f модифицирует эту алгебру в алгебру косой группы , изменяя групповую операцию xy на f ( x , y ) xy .

Применение: для расширения абелевых полей

Пусть G — группа, а L — поле , на котором G действует как автоморфизмы. Коцикл . или (Нётер) факторная система — это отображение c : G × G → L ^* удовлетворяющий

$c(h,k)^{g}c(hk,g)=c(h,kg)c(k,g).$

Коциклы эквивалентны , если существует некоторая система элементов a : G → L ^* с

$c'(g,h)=c(g,h)(a_{g}^{h}a_{h}a_{gh}^{-1}).$

Коциклы вида

$c(g,h)=a_{g}^{h}a_{h}a_{gh}^{-1}$

называются расколом . Коциклы при умножении по модулю расщепляемых коциклов образуют группу, вторую группу когомологий H ² ( Г , Л ^* ).

произведений

Возьмем случай, когда G — группа Галуа поля расширения L / K . Факторная система c в H ² ( Г , Л ^* ) порождает алгебру скрещенного произведения A , которая является K - алгеброй, содержащей L качестве подполя, порожденной элементами λ в L и ug _в с умножением

$\lambda u_{g}=u_{g}\lambda ^{g},$

$u_{g}u_{h}=u_{gh}c(g,h).$

соответствуют изменению базиса в A на K. Эквивалентные факторные системы Мы можем написать

$A=(L,G,c).$

Алгебра скрещенного произведения A — это центральная простая алгебра (CSA) степени, равной [ L : K ]. Верно обратное: всякая центральная простая алгебра над K , распадающаяся над L и такая, что deg A = [ L : K ], возникает таким образом. Тензорное произведение алгебр соответствует умножению соответствующих элементов из H ² . Таким образом, мы получаем идентификацию группы Брауэра , элементы которой являются классами CSA над K , с H ² .

Циклическая алгебра

Ограничимся далее случаем, когда L / K является циклическим с группой Галуа G порядка n, порожденной t . Пусть A будет скрещенным произведением ( L , G , c ) с набором факторов c . Пусть u = u _t — генератор в A, соответствующий t . Мы можем определить другие генераторы

$u_{t^{i}}=u^{i}\,$

и тогда у нас есть ты ^н = а в К. ​Этот элемент a определяет коцикл c посредством

$c(t^{i},t^{j})={\begin{cases}1&{\text{if }}i+j<n,\\a&{\text{if }}i+j\geq n.\end{cases}}$

Таким образом, имеет смысл обозначать A просто через ( L , t , a ). Однако a не определяется однозначно A , поскольку мы можем умножить u на любой элемент λ из L ^* и затем a умножается на произведение сопряженных к λ. Следовательно, A соответствует элементу нормальной группы вычетов K ^* /Н _{Л / К} Л ^* . Получим изоморфизмы

$\operatorname {Br} (L/K)\equiv K^{*}/N_{L/K}L^{*}\equiv H^{2}(G,L^{*}).$

Ссылки

• Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и дополнительные темы . Университеттекст. Перевод с немецкого Сильвио Леви. При содействии переводчика. Спрингер-Верлаг . ISBN  978-0-387-72487-4 . Збл   1130.12001 .
• Джейкобсон, Натан (1996). Конечномерные алгебры с делением над полями . Берлин: Springer-Verlag . ISBN  3-540-57029-2 . Збл   0874.16002 .
• Райнер, И. (2003). Максимальные заказы . Монографии Лондонского математического общества. Новая серия. Том. 28. Издательство Оксфордского университета . ISBN  0-19-852673-3 . Збл   1024.16008 .
• Солтман, Дэвид Дж. (1999). Лекции по алгебрам с делением . Серия региональных конференций по математике. Том. 94. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  0-8218-0979-2 . Збл   0934.16013 .