Основная лемма (программа Ленглендса)

В математической теории автоморфных форм основная лемма связывает орбитальные интегралы на редуктивной группе над локальным полем со стабильными орбитальными интегралами на ее эндоскопических группах . Это предположение было высказано Робертом Ленглендсом ( 1983 ) в ходе разработки программы Ленглендса . Фундаментальная лемма была доказана Жераром Ломоном и Нго Бао Чау в случае унитарных групп , а затем Нго (2010) для общих редуктивных групп, основываясь на серии важных сокращений, сделанных Жаном-Лу Вальдспургером к случаю алгебр Ли . Журнал Time поместил доказательство Нго в список «10 лучших научных открытий 2009 года». Нго был награжден медалью Филдса В 2010 году за это доказательство .

Мотивация и история

Ленглендс изложил стратегию доказательства локальных и глобальных гипотез Ленглендса с использованием формулы следов Артура-Сельберга , но для того, чтобы этот подход работал, геометрические стороны формулы следов для разных групп должны быть связаны определенным образом. Это соотношение принимает форму тождеств между орбитальными интегралами на редуктивных группах G и H над неархимедовым локальным полем F , где группа H , называемая эндоскопической группой G , строится из G и некоторых дополнительных данных.

Первым рассмотренным делом был $G={\rm {SL}}_{2}$ ( Лабесс и Ленглендс, 1979 ). Ленглендс и Диана Шелстад ( 1987 ) затем разработали общую основу теории эндоскопического переноса и сформулировали конкретные гипотезы. Однако в течение следующих двух десятилетий в доказательстве фундаментальной леммы был достигнут лишь частичный прогресс. Харрис назвал это «узким местом, ограничивающим прогресс в решении множества арифметических вопросов». Сам Ленглендс, писая о происхождении эндоскопии, так прокомментировал:

... не основная лемма как таковая имеет решающее значение для аналитической теории автоморфных форм и для арифметики многообразий Шимуры ; это стабилизированная (или стабильная) формула следов, сведение самой формулы следов к стабильной формуле следов для группы и ее эндоскопических групп и стабилизация формулы Гротендика – Лефшеца . Ничто из этого невозможно без фундаментальной леммы, а ее отсутствие сделало прогресс практически невозможным на протяжении более двадцати лет.

Заявление

Фундаментальная лемма гласит, что орбитальный интеграл O для группы G равен стабильному орбитальному интегралу SO для эндоскопической группы H с точностью до коэффициента передачи Δ ( Надлер 2012 ):

$SO_{\gamma _{H}}(1_{K_{H}})=\Delta (\gamma _{H},\gamma _{G})O_{\gamma _{G}}^{\kappa }(1_{K_{G}})$

где

• F — локальное поле,
• G — неразветвленная группа, определенная над F , другими словами, квазирасщепляемая редуктивная группа, определенная над F , которая расщепляется над неразветвленным расширением F ,
• H — неразветвленная эндоскопическая группа G , связанная с κ,
• K _G и K _H — гиперспециальные максимальные компактные подгруппы G и H , что грубо означает, что они являются подгруппами точек с коэффициентами в кольце целых чисел F ,
• 1 _{K G} и 1 _{K H} — характеристические функции K _G и K _H ,
• Δ(γ _H ,γ _G ) — коэффициент передачи, некоторое элементарное выражение, зависящее от γ _H и γ _G ,
• γ _H и γ _G — элементы G и H , представляющие классы стабильной сопряженности, такие, что класс стабильной сопряженности G является передачей класса стабильной сопряженности H ,
• κ — характер группы классов сопряженности в классе стабильной сопряженности γ _G ,
• SO и O — устойчивые орбитальные интегралы и орбитальные интегралы, зависящие от их параметров.

Подходы

Шелстад (1982) доказал фундаментальную лемму для архимедовых полей.

Вальдспургер (1991) подтвердил фундаментальную лемму для общих линейных групп.

Котвитц (1992) и Блазиус и Рогавски (1992) проверили некоторые случаи фундаментальной леммы для трехмерных унитарных групп.

Хейлз (1997) и Вайсауэр (2009) подтвердили фундаментальную лемму для симплектических и общих симплектических групп Sp ₄ , GSp ₄ .

В статье Джорджа Люстига и Дэвида Каждана указывалось, что орбитальные интегралы можно интерпретировать как подсчет точек на определенных алгебраических многообразиях над конечными полями. Далее, рассматриваемые интегралы могут быть вычислены способом, который зависит только от поля вычетов F ; и проблема может быть сведена к версии орбитальных интегралов в алгебре Ли. Затем проблема была переформулирована в терминах слоя Спрингера алгебраических групп. Круг идей был связан с гипотезой чистоты ; Лаумон дал условное доказательство, основанное на такой гипотезе, для унитарных групп. Лаумон и Нго ( 2008 ) затем доказали фундаментальную лемму для унитарных групп, используя расслоение Хитчина, введенное Нго ( 2006 ), которое является абстрактным геометрическим аналогом системы Хитчина комплексной алгебраической геометрии. Вальдспургер (2006) показал для алгебр Ли, что случай функционального поля влечет за собой фундаментальную лемму для всех локальных полей, а Вальдспургер (2008) показал, что из фундаментальной леммы для алгебр Ли следует фундаментальная лемма для групп.

Ссылки

• Блазиус, Дон; Рогавски, Джонатан Д. (1992), «Фундаментальные леммы для U (3) и родственных групп», в Ленглендсе, Роберт П.; Рамакришнан, Динакар (ред.), Дзета-функции модульных поверхностей Пикара , Монреаль, QC: Univ. Монреаль, стр. 363–394, ISBN.  978-2-921120-08-1 , МР   1155234
• Кассельман, В. (2009), Фундаментальная лемма Ленглендса для SL (2) (PDF)
• Дат, Жан-Франсуа (ноябрь 2004 г.), Фундаментальная лемма и эндоскопия, геометрический подход, согласно Жерару Ломону и Нго Бао Чау (PDF) , Семинар Бурбаки , вып.
• Хейлз, Томас К. (1997), «Фундаментальная лемма для Sp (4)», Proceedings of the American Mathematical Society , 125 (1): 301–308, doi : 10.1090/S0002-9939-97-03546-6 , ISSN   0002-9939 , МР   1346977
• Харрис, М. (редактор), Стабилизация формулы следа, разновидности Шимуры и арифметические приложения , заархивировано из оригинала 20 апреля 2012 г. , получено 4 января 2012 г.
• Каждан, Дэвид; Люстиг, Джордж (1988), «Многообразия с фиксированной точкой на многообразиях аффинных флагов», Израильский математический журнал , 62 (2): 129–168, doi : 10.1007/BF02787119 , ISSN   0021-2172 , MR   0947819
• Котвитц, Роберт Э. (1992), «Вычисление некоторых орбитальных интегралов», в Ленглендсе, Роберт П.; Рамакришнан, Динакар (ред.), Дзета-функции модульных поверхностей Пикара , Монреаль, QC: Univ. Монреаль, стр. 349–362, ISBN.  978-2-921120-08-1 , МР   1155233
• Лабесс, Жан-Пьер; Ленглендс, Р.П. (1979), «L-неотличимость для SL (2)», Canadian Journal of Mathematics , 31 (4): 726–785, doi : 10.4153/CJM-1979-070-3 , ISSN   0008-414X , MR   0540902 , S2CID   17447242
• Ленглендс, Роберт П. (1983), Начало устойчивой формулы следа , Publications Mathématiques de l'Université Paris VII [Математические публикации Парижского университета VII], том. 13, Париж: VII Университет математики Парижа, MR   0697567
• Ленглендс, Роберт П.; Шелстад, Диана (1987), «Об определении коэффициентов передачи», Mathematische Annalen , 278 (1): 219–271, doi : 10.1007/BF01458070 , ISSN   0025-5831 , MR   0909227 , S2CID   14141632
• Лаумон, Жерар (2006), «Фундаментальные геометрические аспекты Ленглендса-Шелстада», Международный конгресс математиков. Том. II , Евр. Математика. Soc., Zürich, стр. 401–419, MR   2275603 , заархивировано из оригинала 15 марта 2012 г. , получено 9 января 2012 г.
• Ломон, Жерар; Нго, Бао Чау (2008), «Le lemme Fondamental pour les Groupes Unitaires», Annals of Mathematics , Second Series, 168 (2): 477–573, arXiv : math/0404454 , doi : 10.4007/annals.2008.168.477 , ISSN   0003-486X , MR   2434884 , S2CID   119606388
• Надлер, Дэвид (2012), «Геометрическая природа фундаментальной леммы», Бюллетень Американского математического общества , 49 : 1–50, arXiv : 1009.1862 , doi : 10.1090/S0273-0979-2011-01342-8 , ISSN   0002 -9904 , S2CID   30785271
• Нго, Бао Чау (2006), «Расслоение Хитчина и эндоскопия», Inventiones Mathematicae , 164 (2): 399–453, arXiv : math/0406599 , Bibcode : 2006InMat.164..399N , doi : 10.1007/s00222-005 -0483-7 , ISSN   0020-9910 , MR   2218781 , S2CID   52064585
• Нго, Бао Чау (2010), «Фундаментальная лемма для алгебр Ли», Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques , 111 : 1–169, arXiv : 0801.0446 , doi : 10.1007/s10240-010-0026-7 , ISSN   0073-8301 , МР   2653248
• Шелстад, Диана (1982), «L-неотличимость реальных групп», Mathematische Annalen , 259 (3): 385–430, doi : 10.1007/BF01456950 , ISSN   0025-5831 , MR   0661206 , S2CID   121385109
• Вальдспургер, Жан-Лу (1991), «О скрученных орбитальных интегралах для линейных групп: фундаментальная лемма», Canadian Journal of Mathematics , 43 (4): 852–896, doi : 10.4153/CJM-1991-049-5 , ISSN   0008-414Х , МР   1127034
• Вальдспургер, Жан-Лу (2006), «Эндоскопия и изменение характеристик», Журнал Института математики Жюсье , 5 (3): 423–525, doi : 10.1017/S1474748006000041 , ISSN   1474-7480 , MR   2241929 , S2CID   122919 302
• Вальдспургер, Жан-Лу (2008), «L'endoscopie tordue n'est pas si tordue» [Извращенная эндоскопия не так уж и извращена] (PDF) , Мемуары Американского математического общества (на французском языке), 194 (908), Провиденс , Род-Айленд: Американское математическое общество : 261, doi : 10.1090/memo/0908 , ISBN  978-0-8218-4469-4 , ISSN   0065-9266 , МР   2418405
• Вайсауэр, Райнер (2009), Эндоскопия для GSP (4) и когомологии модульных тройников Зигеля , Конспект лекций по математике, том. 1968, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-3-540-89306-6 , ISBN.  978-3-540-89305-9 , МР   2498783

Внешние ссылки

• Лекция Жерара Ломона по фундаментальной лемме для унитарных групп
• Баскен, Пол (12 сентября 2010 г.). «Понимание фундаментальной леммы Ленглендса» . Хроника высшего образования .